三角関数(tan)について

質問

θは0≦θ≦４５°の範囲で動くものとして、θの関数f(θ)=11cosθ^2 +12sinθcosθ +6sinθ^2 があって、途中式を省略すると、f(θ)=13/2sin(2θ+α) + 17/2
ただしsinα＝5/13, cosα=12/13になって、f(θ)の最小値を求める問題なのですが、αが４５°より小さいか大きいかでθのとる値もかわってきますよね？本ではtanを使って評価しているみたいなのですが、sinα＝5/13<1/2=sin30°からα＜３０°とやったほうが簡単だと思うのですが、なぜわざわざtanを使うのでしょうか？どういうメリットがあるのかわかりません。

回答No.1

zabuzaburo · ベストアンサー

角度αについての情報を言い表す際に、
α自体の値を直接示すことができれば一番ラクなのですが、
それが困難なときに、cos、sin、tanの情報で代用するわけですね。
このとき、cosだけ、sinだけ、tanだけを与えられた場合には、
その角の値の可能性が一般には2つ生じてしまい、
そのどちらであるかが決定されません。
x軸対称の関係にある角はcosの値が等しく、
y軸対称の関係にある角はsinの値が等しく、また
原点対称の関係にある角はtanの値が等しいですね。
2つにまで絞られた角から、さらに唯一の角を決定するためには、
cos, sin, tanのうちもう1つ別のものの符号が分かれば十分です。
jiro_02さん自身の
>sinα = 5/13 < 1/2 = sin30°からα < 30°
という推論においては
「cosα > 0 であるという情報を無意識に使っている」
ということを見落としてはなりません。cosの符号が分からなければ
αは150°～180°の辺りの角かも知れないわけです。

以上から、どの値を使うにしても単独では角は絞れないわけで、
この問題で(sinではなく)tanを使うことで
何かメリットがあるわけではありません。
ただ、この問題ではたまたまαの値の境目が45°であり、
そこではtanαが1という非常にシンプルな値をとることから、
tanを使いたくなったのでしょうね。

お礼

＞2つにまで絞られた角から、さらに唯一の角を決定するためには、
cos, sin, tanのうちもう1つ別のものの符号が分かれば十分です。

そうなんですか！これは大変ためになることが聞けました。そういう理由でtanを登場させたのですね。tanに特別な意味がないと言うことをお聞きできて良かったです。自分で解いたときも「cosα > 0 であるという情報を無意識に使っている」 なんて気づかなかったのですが、そういわれればそうですね。ここでも２つの基準を使っていたのですね。どうやれば角度が決まるのかわかったので、tanにこだわらずにいきたいと思います。tanが求められると言うことはsin,cosがわかっているということだから、この時点で、角度は一つに求めることができますね。ただ、tan45°=1というわかりやすい基準があることもわかりましたので質問してよかったです。

ご回答どうもありがとうございました。

回答No.2

tamagawa49

tan45°=1の方が覚えやすいと思います。
しかし、tanα=sinα/cosαの計算をする手間もあります。
で、どちらを使うかですが・・・

確か、tanαの値というのはその直線の傾きを表していたと思います。
つまり直線y=ax+bのaに当たる部分なはずです。

この問題の場合は、tanα=5/12となりますから、１より小さい(45°より小さい)というだけでなく、傾き5/12ぐらいの角度であるということが分かります。
その基本を押さえてtanを使っているのだと思います。

ただし、この問題を解くだけなら、jiro_02さんが言われるようにわざわざtanを求めなくてもいいように思います。

お礼

＞tan45°=1の方が覚えやすいと思います。
しかし、tanα=sinα/cosαの計算をする手間もあります。
で、どちらを使うかですが・・・

そうですよねー。どちらを使うかは個人の好みなんですね。４５°より大きいか小さきかを決めるときはtanが断然有利ですね。３０°６０°の時は√がつくので敬遠したいですが。逆に３０°のときはsinで、６０°のときはcosをつかったほうが√がつかなくて良いかもしれませんね。√がついたりするのはあまり好きではないので。。。

お返事どうもありがとうございました。