三角関数

質問

「tanθ=-2√2のとき、sinθとcosθを求めよ。」
という問題なのですが、
1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使って
1+8=9よりcos^2θ=1/9
∴cosθ=±1/3
cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
となってしまいました。
答えはcosθ=1/3のとき、sinθ=-2√2/3
cosθ=-1/3のとき、よりsinθ=2√2/3
です。
単位円を書けばわかるのですが、計算としてどうして正負がおかしくなっているのか知りたいです。
計算の途中でやってはいけないことをしていないか、お教えいただきたいと思います。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは、

　式変形は、同値でなければなりません。

　あなたの場合、いきなり

　1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使っていますから、ｔａｎθが負であることが、
抜けて飛んでしまいます。

　したがって、この式を使うときに、ｔａｎθが負である条件を書き添えねばなりません。

　　そして、

　cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
　　と出たときに、

　ただしｔａｎθが負であるから、sinθが負であるので　sinθ=ー2√2/3

　　を書き加えるべきなのです。

　もう一方も同じです。

　　やってはいけないのは、「同値変形である条件を書くことを忘れる。」

　です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

＞tanθ=-2√2のとき

tanが負であるということは、すなわち、
sinとcosの符号が相異なる、
つまり、第２・第４象限に関する話をしている、ということです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

takkochan

>cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
計算上そうであっても
cosθ=1/3の時、sinθ=2√2/3
であれば、tan=2√2と成りますから不適。よってsinθ=-2√2
>cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
これも同様です。

また、この問題はわざわざ2倍角の公式を使わなくても
（sinθ)^2＋(cosθ)^2＝１を使えば解けます。

お礼

ありがとうございました。