漸近線と極限の違いについて

質問

漸近線の定義については、
「漸近線（ぜんきんせん、asymptote）とは、ある曲線が任意に十分接近する直線または曲線をさす。」Wikipedia
のような「十分に接近」とか「限りなく近づく」という表現がほとんどのように思います。
あるページでは「限りなく近づくが、交わったり、接したりすることはない」ともあります。つまり、例えば漸近線がY=1の場合は、どのx座標をとってもY=1を満たすxは存在しない、ということと同じであるような…気がします。

対して極限については、
無限等比級数で証明されるように、極限は「値」として扱われているような気がします…。0.9999.....は、1という「値」なんですよね。。

y=1/xの方程式でx→∞のとき、y=0が極限で、y=0は同時に漸近線(x=0も）です。
上記の漸近線・極限の定義から考えるとこれらを同時に満たすってなんだか矛盾する感じがするのですが、どちらかの定義が間違ってるのでしょうか…？質問が乱雑ですが、よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

前半
y=f(x)=1+(1/x)の漸近線はy=1ですがf(x)=1となるxは存在しません。
y=f(x)=1+{2/(x+3)}の漸近線もy=1ですがf(x)=1となるxは存在しません。
漸近線はy=定数　の形とは限りません。
双曲線：x^2-4y^2=1の漸近線はy=x/2とy=-x/2の2つの直線です。
y=f(x)=2x+3-(1/x)の漸近線はy=2x+3　です（正確に言えばy軸(x=0)も漸近線です。）。

後半
>0.9999.....は、1という「値」なんですよね。
数学的に同じという事です。

>y=1/xの方程式でx→∞のとき、y=0が極限で、y=0は同時に漸近線(x=0も）です。
おなじ場合もあります。
しかし、常に同じとはいえません。

y=g(x)=x+(1/x)の漸近線はy=xですが
x→∞のとき、yの極限値は∞になって存在しません。
でも漸近線はy=xで、ちゃんと存在します。

回答No.4

aiueo95240

漸近線は、高校段階では確かに混乱があります。

漸近線は、無限遠点での接線と考えれば、すっきりします。

回答No.2

egarashi

有限と無限を混同していませんか？
漸近線
どのx座標をとってもY=1を満たすxは存在しない
正しいです。それらx座標は有限の値です。故にY=1になり得ません。
極限値が漸近線の方程式です。

回答No.1

kabaokaba

関数としての極限と
数としての極限がごっちゃになってるというか・・・・

＞あるページでは「限りなく近づくが、交わったり、接したりすることはない」ともあります。

定義の問題ですが，それでは質問しましょう
y=sin(x)/x (x>0)にたいして
y=0は漸近線ですか？

漸近線の定義としては
y=f(x)のx->∞での漸近線がy=g(x)であるとは
|f(x)-g(x)|->0 (x->∞)
となることをいう(ただし，fとgはことなる)
というようなものがポピュラーだと思いますが，
これは「漸近線とグラフが交わる」ことを否定しません．
一方，
|f(x)-g(x)|>0かつ|f(x)-g(x)|->0 (x->∞)
とかすると，交わることを排除しますが
あんまりこっちの方は見かけない気がします．

>y=1/xの方程式でx→∞のとき、y=0が極限で、y=0は同時に漸近線(x=0も）です。
「y=0が極限」これは数としての極限です．
正確には「0が極限」であって「y=0ではありません」