漸近線

質問

f(x)=x^3/x^2－１　の漸化式の方程式
y=xの求め方がわかりません、どうすればいいのでしょうか？
y軸方向に○○動くからとかではなく、limをつかって示すのにはどうすればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

kony0

> なぜ、f(x)でなくf(x)-xなのですか？？

最初に、整式/整式の（次数の観点でみた）帯分数化＜これは式変形の常套手段の１つ＞をして
f(x) = x + x/(x^2-1)
と変形しています。

・・・というのでは、納得いただけませんでしょうか？

もうちょっとまじめに記述すれば、漸近線の方程式をy=ax+bとして
f(x)-(ax+b) = (1-a)x - b + x/(x^2-1)
のx→±∞の振る舞いを考えると、a≠1のとき発散するのでa=1
左辺がゼロに収束するには、b=0
ってことで、y=xが出てきます。

ちなみに、#1では、はじめからy=xが漸近線だろうと思っている回答ではないですよ。
たとえばg(x)=(x^3+2x^2+1)/(x^2-1)であれば、これを帯分数化すれば
g(x) = (x+2) + (x+3)/(x^2-1)
ですので、y=g(x)の漸近線は、y=x+2であることが言えます。

回答No.3

mickel131

最初に、
分母が　x^2－１　ならば、
括弧でくるむ必要がありますね。

f(x)=x^3/（x^2－１）

それから、１行目の「漸化式の方程式」は、「漸近線の方程式」ですね。
---------------------------------------------
　　y = ax+b　が　y=f(x)の漸近線
ということは、
「xを無限に大きくしたとき（グラフでは無限に右に行ったとき）、または、ｘをマイナス無限大にしたとき、
（グラフでは無限に左に行ったとき）、
y=f(x)の値が、y = ax+bの値　と限りなく近づいていく
（差が０に近づく）、ということですね。
これを式で書くと、
lim[x→±∞]{f(x) - (ax+b)} = 0
となります。

したがって、
f(x)=x^3/（x^2－１）の漸近線がx
ということを示すには、
lim[x→±∞]{x^3/（x^2－１）- x} = 0
を示せばいいですね。
{ }内の式は、通分して１つの分数にまとめましょう。
（x^2－１）を分母として・・・。

補足

xが漸近線になると仮定して、
xを引いたものは０になるよってことを示せばいいってことですね？？
そのままlim[x→±∞]{f(x)｝＝x
のように示すことはできないのでしょうか？？

回答No.2

pyon1956

＞どうしてそれをいえば、いえるのでしょうか？

漸近線の定義は
lim(x→∞){f(x)-(ax+B)}=0⇔y=ax+bはy=f(x)の漸近線
ですよ。
つまり向こうの方へ行けば行くほど直線と元の関数の距離が減っていくよ、といっているわけです。

回答No.1

kony0

単純にこの問題であれば、
f(x) = x + x/(x^2-1)
ですから、
lim(x→±∞){f(x)-x}=0
ですね。

補足

返信ありがとうございました。
なぜ、f(x)でなくf(x)-xなのですか？？
たしかに、そうすると０になりますけど、
どうしてそれをいえば、いえるのでしょうか？
(下手な文章ですいません)