Σ演算

質問

Σj*r^(j-1) (j=1,2,....∞)　　0 < r < 1

を計算するにあたり、これを

Σj*r^(j-1)

= 1+ r + r^2 + r^3 +.....
+ r + r^2 + r^3 +.....
+ r^2 + r^3 +.....
+................
+...........

= (1+ r + r^2 + r^3 +.....)
+ r(1+ r + r^2 + r^3 +.....)
+ r^2(1+ r + r^2 + r^3 +.....)
+ r^3(1+ r + r^2 + r^3 +.....)
+..........................
+.............

という展開を施して、さらに等比数列の和の公式から

= (1-r)^-1
+ r(1-r)^-1
+ r^2(1-r)^-1
+............

= (1-r)^-1 * (1+ r + r^2 + r^3 +....)

= (1-r)^-2

というように求めました。解答とも一致はしたのですが、こいつをΣの演算をうまい事駆使してよりシンプルというか綺麗に解けないかと思案しています。

ご存知の方、よろしくお願いします。

なお、ご回答くださる際には、どのような演算法則が利用されているのかを明らかにしてくださるようお願いします。

回答No.1

postro · ベストアンサー

Σj*r^(j-1) (j=1,2,....n) =S とおくと
S= 1+ 2r + 3r^2 + 4r^3 +.....+nr^(n-1)
両辺にrをかけて
rS= r + 2r^2 + 3r^3 +.....+(n-1)r^(n-1) +nr^n
辺辺引くと
(1-r)S= 1+ r + r^2 + r^3 +.....+ r^(n-1) -nr^n
=(1-r^n)/(1-r) -nr^n
よって
S= (1-r^n)/(1-r)^2 - nr^n/(1-r)
n→∞　のとき　S→ 1/(1-r)^2

補足

なるほど。それなら綺麗に解けますね。
ありがとうございました。

回答No.3

metzner

#2です。補足します。
dW(r)/dr=d(Σr^j)/dr
=Σd(r^j)/dr (和の微分は微分の和)
=Σj*r^(j-1) (r^jのrでの微分はj*r^(j-1))
1/(r-1)の微分はおわかりだと思います。
無限の和の項別の微分が不安であれば有限和で同様の
戦法をお使いください。それでもいけます。

回答No.2

metzner

質問者さんの欲しい回答と少しずれているかもしれませんが以下のようにすれば簡単では?
W(r)=Σr^jとおく
これは
W(r)=1/(r-1)
上式の両辺をrで微分して
dW(r)/dr=Σj*r^(j-1)=1/(r-1)^2
以上で答えです
(注：は項別に微分した)

お礼

なるほど！
巧いですね。。。ありがとうございました。