等比数列の問題を教えてください。

質問

次の等比数列の公比を求めよ。
第4項までの和が、第8項までも和の1/17。
a(r＾4-1)/(r-1)=a(r^8-1)/(r-1)×1/17
という方程式は立てられました。解答はｒ＝±2,-1なんですがどうして-1が出てくるのかわかりません。ｒ＝±2は自分で解いても出たのですが。

回答No.8

owata-www · ベストアンサー

＞r=1の場合は答えに含めないでいいんですか？
間違えて不適とか書いてしまいましたが　a≠０を勝手に仮定してしまいましたorz　というわけでa＝0となります

まとめると
a≠0の時、r＝±2、-1
a＝0の時、rは任意の数

となります、ただしどうやら問題集ではa＝０の時は省いているようですね

お礼

ありがとうございます。
つまり問題集ではr≠1の場合だけやっているということですか？

回答No.9

owata-www

r≠１の時だけやっているというより
a＝０（つまりすべての項が０の等比数列）を省いて考えていると捉えた方がよろしいかと

回答No.7

arrysthmia

←No.5 補足
公比≠1 と 公比＝1 で場合わけすれば良いです。

公比≠1 の場合は、No.3 補足で貴方自身がやっているようにすれば ok。
そのとき、a＝0 では（r の値によらず）公比が 1 になってしまいますから、
a≠0 の場合のみを考えているとして良く、両辺を a で割ることができます。

公比＝1 の場合は、4a = 8a / 17 を解いて a＝0 です。

お礼

r≠1のときr=±2と-1がでますよね？
r=-1のときってどんな数列ですか？

あとr=1の場合なんですけど解答にr=1ってないんですよね(*_*;

回答No.6

owata-www

なるほど、そういう風にやりましたか

それなら確かに
-a(r+1)(r^2+1)(r^4-16)=0
になりますね

この場合はr=1もa=0も場合分けして解答すべきかと
r≠1 a(r＾4-1)/(r-1)=a(r^8-1)/(r-1)×1/17
r＝1 4a=8a　不適

-a(r+1)(r^2+1)(r^4-16)=0
a≠0　解の通り
a＝0 0＝0*1/17 より成立 公比は任意の数
（＃３の変形でも場合分けは必要です）

と書いておくのが間違いないかと

お礼

ありがとうございます。
a=0の場合どんな数でもいいというこですね！

でも私の問題集の解答にはr=±2と-1しかないんですよ。
これはr≠1の場合だけの話ですよね？
r=1の場合は答えに含めないでいいんですか？

回答No.5

arrysthmia

Σ[k=1→n] a r^k は、
　　r ≠ 1 のとき　= a (1-r^n) / (1-r)、
　　r = 1 のとき　= a n
ですから、
場合分けしなければ、そもそも
和を式で表すことかができません。

お礼

ありがとうございます。

その場合分けについては理解できました。
ではこの問題にどのように適用すればいいのでしょうか？

回答No.4

arrysthmia

式の両辺を a で割ってもよいかどうかは、
「等比数列」の定義を x[n+1] = r・x[n] としているか、
x[n+1] / x[n] = r としているか、という
微妙な言葉尻の問題で違ってきます。

貴方が立式に使った、a(1-r^2)/(1-r) という等比数列の和の公式は、
公比 r が 1 でないときだけ成立する式です。
公比が 1 となる定数列も、等比数列のうちなのですが、
それに定数列 0 を含めるか否かは、上記の立場の差で変わります。

私は、個人的に「含める」派です。その場合、
a = 0 から生じる定数列 0 も、この問題の解になります。
第 4 項までの和も、第 8 項までの和も 0 ですから、
0 = 0・(1/17) です。

お礼

回答ありがとうございます

ではこの問題は場合分けして解くということですか？

回答No.3

owata-www

＞この方程式をもう一度変形してみましたら、
-a(r^2＋1)(r＋1)(r^4-16)=0
となりました。

にはなりませんね

a(r＾4-1)/(r-1)=a(r^8-1)/(r-1)×1/17
→r^4-1＝(r^8-1)×1/17 両辺にあるa/(r-1)を消す
→r^8-17r^4+16=0

になります

お礼

回答ありがとうございます。
自分の途中の変形は
a(r＾4-1)/(r-1)=a(r^8-1)/(r-1)×1/17
＝a(r+1)(r-1)(r^2+1)/(r-1)=a(r+1)(r-1)(r^2+1)(r^4+1)/(r-1)×1/17
←(r＾4-1)と(r^8-1)を和と差の積で因数分解しました。
a(r+1)(r^2+1)=a(r+1)(r^2+1)(r^4+1)×1/17
←分母の(r-1)と分子の(r-1)を約分
17a(r+1)(r^2+1)-a(r+1)(r^2+1)(r^4+1)=0
←１７倍し右辺を左辺に移動
a(r+1)(r^2+1){17-(r^4+1)}=0
←共通因数a(r+1)(r^2+1)でくくる
-a(r+1)(r^2+1)(r^4-16)=0
となりました。これで-aを消して、答えを導いても平気ですか？

回答No.2

bgm38489

先の回答に補足。この変形方程式を解くと±２、±１となります。なぜ＋１がだめかというと…貴方の立てた方程式を睨んでください。

お礼

御回答ありがとうございます。

この方程式をもう一度変形してみましたら、
-a(r^2＋1)(r＋1)(r^4-16)=0
となりました。-aは未知数で符合もわかりませんが消去してしまっていいんですか？

回答No.1

bgm38489

この式を変形すると、
r^8-17*r^4+16=0という式になりますね。これを因数分解すると…自然に答えは見えてきます・