数列の問題です

質問

質問がいくつかありますが、よろしくお願いします

次の数列の初項～ｎ項までの和を求めよ
１、1＋４、1＋４＋７

与えられた数列の第ｋ項をAkとし、求める和をSnとする
ここで一つ目の質問です！
なぜｎ項まで求めよといわれてるにもかかわらず、第ｋ項までの一般項を求め和を出そうとするんでしょうか

続き
Ak=1＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}
ここで二つ目の質問です！
この式はどのようにして出したんですか？
１、1＋４、1＋4＋７
という数列にもかかわらず2項目１やら3項目の４はどこへ消えてしまったんでしょうか？

そして最後の質問です
Σというのは和を表すと書いてあるんですが
ならば
等差、等比数列の和の公式は必要なくありませんか？
またはΣ公式などを使わなくても全て等差、等比数列の和の公式でできるんじゃないでしょうか？
なぜわざわざ分けているのでしょうか？

質問が多くて恐縮ですが
解説よろしくお願いします。

回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.2，No.3です。

第ｋ項が、初項１公差３の等差数列の和の形になっているから、
この形になりました。
Ａk＝Σ（ｌ＝１～ｋ）（３ｌ－２）
　 ＝３Σ（ｌ＝１～ｋ）ｌ－２Σ（ｌ＝１～ｋ）１
　 ＝３・（１／２）ｋ（ｋ＋１）－２ｋ
　 ＝（１／２）ｋ（３ｋ－１）
この部分でわざわざｌを置く理由がわからないです
ｌは１～ｋまでですよね、しかしｋも１～ｋまであると思うんです
それとです
参考書では、Ak=１＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}
　　　　　　　　　　=１/２ｋ{２＋３（ｋ－１）}＝１/２（３ｋ＾2ーｋ）
となっているんですが、
＞この式との違いはΣ公式を使っているか使ってないかというだけですか？
そうです。

参考書は、通常の等差数列の和の公式を使っていて、項数＝ｋです。
Σ公式の場合も項数はｋです。（ｌ＝１～ｋ）
一般項＝１＋（ｌ－１）・３＝３ｌ－２には、
項数を表すｋの文字が使えないので、ｌとしているだけです。
Ａkは単純な和を求める計算なので、参考書の解法の方がいいかもしれません。

でどうでしょうか？何かあったらお願いします。

お礼

お礼が遅くなってすみません
何度も丁寧に回答して頂きありがとうございました！
とてもわかりやすかったです！

回答No.4

ONEONE

【1】なぜｎ項まで求めよといわれてるにもかかわらず、第ｋ項までの一般項を求め和を出そうとするんでしょうか

細かいことですが質問文をより正確に書くと
「なぜｎ項まで求めよといわれてるにもかかわらず、一般項（第ｋ項）を求め和を出そうとするんでしょうか」

どのような法則に従って数列が作られているかを把握することがまず第一ですね。だから一般項を求めることが和を求める事につながります。

【3】Σというのは和を表すと書いてあるんですが
ならば
等差、等比数列の和の公式は必要なくありませんか？
またはΣ公式などを使わなくても全て等差、等比数列の和の公式でできるんじゃないでしょうか？
なぜわざわざ分けているのでしょうか？

Σ記号はΣ(一般項)という形で「・・・」を使わずより正確に数列の和を記述できる点で優れていると思います。これは等差数列、等比数列に限らず使えるので存在意義のある記号でしょう。

公式というのはそれを導くまでの思考を簡略化するためにあるようなもので、使いやすい方を選べば良いのです。で、すべてどちらかで補うのは無理ですが、一部は上手く使い分けると計算が楽になると思います。
Σ(3k + 4)のような場合はΣの公式で導くよりも等差数列の　項数＊（初項 + 末項）/2と計算したほうが楽だと思います。
しかしΣ(3k^3 + 1)のような場合はシグマの公式を使うのがいいでしょう。

回答No.3

ferien

ANo.2です。訂正です。
＞第ｋ項が、初項１公差３の等差数列の和の形になっているだけです。
です。
何か間違いなどあったらお願いします。。

補足

間違いなんてとんでもないです！
このようなめんどくさい質問に解答していただきありがとうございます！
数列が苦手で苦戦していましたが、かなり光が見えてきました！
しかし少し疑問が生まれたので
何度も恐縮ですが質問させていただきます＞＜

第ｋ項が、初項１公差３の等差数列の和の形になっているから、
この形になりました。
Ａk＝Σ（ｌ＝１～ｋ）（３ｌ－２）
　 ＝３Σ（ｌ＝１～ｋ）ｌ－２Σ（ｌ＝１～ｋ）１
　 ＝３・（１／２）ｋ（ｋ＋１）－２ｋ
　 ＝（１／２）ｋ（３ｋ－１）
この部分でわざわざｌを置く理由がわからないです
ｌは１～ｋまでですよね、しかしｋも１～ｋまであると思うんです

それとです
参考書では、Ak=１＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}
　　　　　　　　　　=１/２ｋ{２＋３（ｋ－１）}＝１/２（３ｋ＾2ーｋ）
となっているんですが、この式との違いはΣ公式を使っているか使ってないか
というだけですか？

なんか的外れな質問が多くてごめんなさい。
よろしくお願いします

回答No.2

ferien

質問がいくつかありますが、よろしくお願いします

次の数列の初項～ｎ項までの和を求めよ
１、1＋４、1＋４＋７
与えられた数列の第ｋ項をAkとし、求める和をSnとする

ここで一つ目の質問です！
＞なぜｎ項まで求めよといわれてるにもかかわらず、第ｋ項までの一般項を求め和を
＞出そうとするんでしょうか
初項＝１
第２項＝１＋４＝５
第３項＝１＋４＋７＝１２
　　　………
第ｋ項＝１＋４＋７＋……＋｛１＋（ｋ－１）３｝
です。
第ｋ項が、初項１公差３の等差数列の形になっているだけです。
第２項，第３項とも値を計算すれば普通の数列ですが、
和の形にしているのは、その方が一般項（第ｋ項）の形を予測しやすくなるからだと思います。

続き
Ak=1＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}
ここで二つ目の質問です！
＞この式はどのようにして出したんですか？
第ｋ項が、初項１公差３の等差数列の形になっているから、
この形になりました。
Ａk＝Σ（ｌ＝１～ｋ）（３ｌ－２）
　　＝３Σ（ｌ＝１～ｋ）ｌ－２Σ（ｌ＝１～ｋ）１
　　＝３・（１／２）ｋ（ｋ＋１）－２ｋ
　　＝（１／２）ｋ（３ｋ－１）

そして最後の質問です
Σというのは和を表すと書いてあるんですが
ならば
>等差、等比数列の和の公式は必要なくありませんか？
和の公式を使って答えを求めるので必要です。（Ａkを求めるときも使いました。）
Ｓn＝Σ（ｋ＝１～ｎ）Ａk
　　＝Σ（ｋ＝１～ｎ）（１／２）ｋ（３ｋ－１）
　　＝（３／２）Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ^2－（１／２）Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ
　　＝（３／２）（１／６）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）－（１／２）（１／２）ｎ（ｎ＋１）
　　＝（１／２）ｎ^2（ｎ＋１）

＞またはΣ公式などを使わなくても全て等差、等比数列の和の公式でできるんじゃないでしょうか？
＞なぜわざわざ分けているのでしょうか？
公式を使った方が、複雑な問題に対しても要領よく計算できるからだと思います。

回答になってますか？何かあったらお願いします。

回答No.1

Parinne

等差・等比数列の公式は、所詮基本でしかありません。
それらを理解したうえでより難しい問題も解けるようにならないといけません。
ちょっとしたカラクリさえ分かれば、小学生に理解できる分野です。

Ak=1＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}ではなくて、
Ak=1＋４＋７＋・・・＋{１＋・・・（ｋ－１）・３}です。式は正確に記載しましょう。

学校がまだ春休みでなければ、学校の先生に聞きましょう。
尋ねられて嫌がる教師は少ないと思いますよ。

補足

質問者の分際ですが、一言言わせてもらいますと
ここで質問してるのは何かしらの理由で人に聞くことができないということです
ですので、学校の先生に聞くなどの回答は遠慮していただけると幸いです

ですが
Parinneさんに訂正していただいた
Ak=1＋４＋７＋・・・＋{１＋・・・（ｋ－１）・３}
この式のおかげで少し理解ができました！
問題集の解答にはAk=1＋４＋７＋・・・＋{１＋（ｋ－１）・３}
とこのように書いてあり、全然理解ができなかったです・・・
ありがとうございます！