行列の条件数とノルムについて

質問

行列Aの条件数はAのノルムととA^(-1)のノルムの積で定義されるみたいなんですが、肝心の行列のノルムの定義が分かりません。
分かる方がいらっしゃったら教えてください。

回答No.3

ojisan7

条件数に使われる行列のノルムとしては、どんなノルムでもかまいませんが、普通、条件数の値を具体的に求め、悪条件、良条件の判定をするには、ベクトルのノルムから導かれるnatural norm（下記URLでは、「行列のｐノルム」と呼んでいる）を使うことが多いですね。

参考URL：

http://na-inet.jp/nasoft/chap08.pdf

回答No.2

eatern27

行列に限りませんが、Ｋ上のベクトル空間Ｖのノルムとは、
x,y∈V,α∈Kに対して、
1.||x||≧0 (等号はx=0の時)
2.||αx||=|α| ||x||
3.||x+y||≦||x||+||y|| (三角不等式)
が成り立つ||・||:V→R の事を指します。

つまり、この条件を満たす関数||・||の全てが、「ノルム」です。

行列が作用するベクトル空間にノルム||・||が導入されているのであれば、行列のノルムを
||A||=sup[x≠0]||Ax||/||x||
のように定義する事があります。

あるいは、行列の成分を一列に並べてベクトルとみなした時のノルムと考える事もあります。

ベクトルのノルムで代表的なのは、x=(x1,・・・,xn)とした時、
||x||_1=Σ|x_i|
||x||_2=(Σ(x_i)^2)^(1/2)
||x||_∞=max[i]|x_i|
とかですね。

条件数についての記述が何処に書いてあったのか分かりませんが、
おそらく、特定のノルムを念頭に置いているのではなく、何らかのノルムが定義されている場合に、そのノルムに対して「条件数」を定義しているのだと思います。つまり、考えるノルムによって条件数の値自体も変わるという事です。

回答No.1

yumisamisiidesu

多分ですが実数を成分とするmn行列はその成分を一列に並べたベクトルと同じとみなしてそのベクトルのノルムを求めるノルムと考えたらいいと思います