誘導ノルム

質問

現在，マトリクス理論について勉強しているのですが，誘導ノルムのところで行き詰まっています．
よろしければ教えてください．

＜質問＞
ベクトルノルムから導かれる下記の誘導ノルムについて，
導き方を教えてください．(下の式はTexの書き方で表記しています．)
もしくは，導き方を記載している本を教えていただけたら助かります．

A:n×m行列

|A|_{1} = \max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|

|A|_{2} = (\lambda _{\max }(A^{*}A))^{1/2}

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

普通、ベクトルから導かれる誘導ノルムというのは、ナチュラルノルムのこと言うと思うのですが、例えば、線型空間Ｖがあって、各ｘ　(x∈Ｖ)にベクトルのノルム
||x||_｛n｝ (x∈Ｖ)が定義されているとき、行列のノルムをベクトルのノルムから導きましょう（定義しましょう）。という発想です。
たとえば、ナチュラルノルム（作用素ノルム）は、
||Ａ||_｛n｝＝sup_(x≠0) ||Ａx||_｛n｝ /||x||　(x∈Ｖ)
と定義されます。

nisinokkoさんの言いたいことは、たぶん、
A|_{1} = \max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|
と
|A|_{2} = (\lambda _{\max }(A^{*}A))^{1/2}
が成り立つことを証明してください。と云うことだと思います。

A|_{1} = \max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|
は簡単に導かれると思います。

|A|_{2} = (\lambda _{\max }(A^{*}A))^{1/2}
は　A^{*}A　がエルミート行列であることから、A^{*}A　を対角化するユニタリー行列が存在するとこを使えば、証明できるでしょう。

。

お礼

ご回答ありがとうございます．

|A|_{1}の方はなんとか導くことができました．

|A|_{2}の方がエルミート行列の対角化が理解できていないので本を読んで勉強しているところです．

ojisan7さんのおかげで方向性が見えてきました．
ありがとうございます．