1×１行列とスカラーは同一視できるか

質問

1 × 1 行列をスカラーと同一視できるとすれば、行列のスカラー倍の定義と、m × n 行列とn × l 行列の積が m × l 行列になるという行列の積に関する演算規則は矛盾するような気がしますが、この推論は誤りでしょうか？もし誤りだとすればどこに問題点があるのでしょうか？

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

またまたstomachmanです。No.5へのコメント：

> もともとの問題意識は、 (ｎ次行ベクトル) × (ｎ次列ベクトル) をスカラー積と呼ぶこともある一方で、行列算とみれば１×１行列になるから、「スカラーと１×１行列は同一視できる」と単純に考えていました。

によって、なるほど、ご質問の意図がやっと分かりました。

[1] 行列A,Bを掛ける普通の行列積を「A★B」という記号で表し、二つのベクトルu,vのスカラー積（内積）をu●vと表すことにします。また転置を ' で表します。
　「同一視する」というのは、何かある写像φがあって
φ(u●v) =u'★v
ってことです。ここでφ(x)=yは（xの値からyの値への写像ではなくて）xという式そのものからyという式そのものへの写像であり、つまり「●をする」という演算から「第一引数を転置してから★する」という演算への写像の意味です。これだけを見ると、φの実体は
φ(x) = trace(x)
でも良いし、
φ(x) = x[1,1] (xの1,1成分）
でも良い。
　さて、この写像φを使って、(u●v)という演算と(u'★v)という演算を同一視する。すると、(u●v)の値はスカラーsであるから、
u●v = s
φ(s) =u'★v
と書ける。ならば、u,vを指定しなくたって、スカラーsに対して何かがφ(s)によって対応するんでなくては辻褄が合わない。つまり、φは演算から演算への写像というだけではなくて、スカラーから何かへの写像に必然的に拡張できるだろう。
　でも
φ(x) = x[1,1] (xの1,1成分）
だと思って、
φ(s) =(sを要素とする1×1行列）
としてみると何だか旨く行かない、というのがご質問なのですね？

[2] これに対してstomachman No.1では話が逆になります。
　一つのやり方は、スカラーsについて
φ(s) =(sを要素とする1×1行列）
によって同一視を行うことに決める。sと書いたら「その実体はsを要素とする1×1行列だ」と思うことに断然決めるんです。そして以下、「行列以外のものは全部追放」計画を遂行します。
　ベクトルuについては、
φ(u) = （uの次元と同じ行数を持つn×1の行列Uで、U[i,1]=u[i])
実はこれで初めて、ベクトルの転置が意味を持ちます。
　また、行列A, Bについては、
φ(A) = A
φ(A') = A'
φ(A★B）=A★B
φ(A＋B）=A＋B
φ(AーB）=AーB
であると決めます。（両辺の＋、ーは行列の和、差です）
　スカラーs,t同士の四則演算は
φ(st) = φ(s)★φ(t)
φ(1/s) = inverse(φ(s))
φ(s+t) = φ(s)＋φ(t)
φ(s-t) = φ(s)ーφ(t)
（右辺の＋、ーは行列の和、差です）

　そうすると、
φ(u●v) =φ(u)'★φ(v)
が成り立つから、もう●は要らない。さて、
D(A,B) = (Bの列数と同じ行数、列数をもち、対角成分が全てA[1,1]である対角行列。)
と書くことにして、行列にスカラーを左から掛けることを※とすると、φ(※)（つまり「※の実体」）は
φ(s※A) = D(φ(s),A)★A
と定めれば良い。
これで※という演算も要らなくなります。かくて行列とD, ', ★, ＋, ー, inverseで全部書けるようになった。

という話にすれば辻褄は合う訳です。

お礼

ご回答頂きましてありがとうございました。もうしばらく検討することにいたします。

回答No.7

stomachman

No.6 stomachman、書きそこ間違い訂正です。[1]のとこ、

> φ(x) = trace(x)

> φ(x) = x[1,1] (xの1,1成分）

ちがうです。正しくは

φ(trace(x)) = x

φ(x[1,1] (xの1,1成分）) = x

お礼

数回にわたって丁寧にご回答頂きましてありがとうございました。

回答No.5

stomachman

No.1 stomachmanです。幾多の回答に反応なし、ということに鑑みて、もうちっと丁寧にやりなおします。

[1] 「1×1行列をスカラーと同一視する」という話は、「スカラー同士の演算（積・和・逆数）と1×1の行列同士の演算とは丁度同じ形になる（同型である）」ということを仰っているんだろうと思います。スカラー同士の演算だけ考えている分には、確かにこれで辻褄が合っています。

[2]　しかし、スカラーを行列に掛ける演算まで含めて1×1行列をスカラーと同一視しようとすると、話が合わなくなります。（ご質問はこの点でしょう？）
　ところで、「1×1行列をスカラーと同一視」と表現しているけれど、これは「1×1行列」の話というより、「スカラー」の話である。ですから、1×1行列をどうするかと考えるんじゃなく、スカラーを何と同一視するか、という風に捉えるべきです。
　つまり、「（スカラーを行列に掛ける演算まで含めて）スカラーをナニカと同一視できるとすれば、そのナニカとは何か」と考えるんです。

[3] ひとつの答として、「スカラーαを行列に掛ける」という演算は、「全ての対角要素がαである対角行列Aを左から掛けて行列積を作る」の略記法だったんだ、と思うことができます。
　この見方をすると、「スカラーαを行列に掛ける」と言っても、掛ける相手によってスカラーαの実体Aが異なる訳です。
　また、スカラーαとβ同士の演算についても、その積は実体である行列A,Bの演算ABのこと、和と差も行列の演算A+B、A-Bのこと、スカラーαの逆数1/αはAの逆行列のことだと思うことができますから、辻褄が合っています。
　特に、掛ける相手が1 × nの行列であるときには、Aはαだけを成分とする1 × 1の行列になり、[1]の話と完全に一致します。

[4] ということは、[1]は[3]の特殊な場合である。スカラーが1 × 1の行列と同一視できるのは、掛ける相手が1 × n行列という特殊な場合に限られる。そして、相手をm×n行列に拡張するためには、同一視する対象の方もm×m行列に拡張する必要があった、という訳です。

お礼

ご丁寧に回答して頂き、ありがとうございます。

行列のスカラー倍と行列の積の演算規則を矛盾なく説明するためには、スカラーと同一視する対象が相手の行列によって変わってくるということですね。
おかげで、だいぶすっきりしたような気がします。

もともとの問題意識は、 (ｎ次行ベクトル) × (ｎ次列ベクトル) をスカラー積と呼ぶこともある一方で、
行列算とみれば１×１行列になるから、「スカラーと１×１行列は同一視できる」と単純に考えていました。

真っ先にご回答頂いたにもかかわらず、返信が遅くなりまして申し訳ありませんでした。もうしばらく頭の中を整理したのち、回答を締め切りたいと思います。
２度にわたってのご回答ありがとうございました。

回答No.4

hiccup

K を体（あるいは実数の集合）、M(1;K) を K 上の 1 × 1 行列の集合とします。
「1 × 1 行列をスカラーと同一視できる」というのは、M(1;K) と K は代数的な構造も含めてピッタリ重なるので体として同一視できるということでしょう。
しかし、n 次の単位行列 E_n に対して { xE_n | x ∈ K } と K が同型だからといって、E_2 と E_3 の和や積を考えるのは乱暴すぎます。

考えましたが矛盾を見つけることができなかったので、どこが矛盾していると思われるのか気になります...。

補足

ご回答ありがとうございました。ご返信が大変、遅くなりまして申し訳ありません。
気にされている点についてですが、一般に、２つの集合AとBが同一視できるといっても、Aにおける演算とBにおける演算が同一視できるのであって、Aの元とBの元の演算が定義できるわけではないということだと思いますが....

回答No.3

jlglg

スカラー倍はどんな行列にも掛けることができる。

しかし、1 × 1 行列は、
1 × 1 行列と1 × n 行列の積、
m × 1 行列と1 × 1 行列の積、
しか定義されていない、ということですね。

以前僕も似たようなことで悩んだことがあります。（今でも完全に納得しているわけではありませんが。）

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2149524

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2149556

今思うに、行列の一部がベクトル、ベクトルの一部がスカラー、というわけではないと認識しています。

つまり、行列とベクトルとスカラーを統一して、全部を行列だけを使って理論構成はできないと思っています。

でも、統一理論があればおもしろいですね。

お礼

ご回答ありがとうございました。また、返信が大変遅くなりまして申し訳ありません。stomachman さんが回答されていますが、「スカラーを何と同一視するかは場合によりけり」ということで切り抜けられるような気がします。

回答No.2

tuort_sig

行列の積の定義は

>m × n 行列とn × l 行列の積が m × l 行列になる

ではなくて

αをm×n行列の成分、βをn×p行列の成分、γをm×p
行列の成分としたとき、以下の総和で定義されます
γij＝Σ[k=1→n]αikβkj
ijkは添え字で、例えばαijだと成分αの行列のi行j列成分を表します

次に、問題点の指摘ですが
memoryterm様は行列の積を型で単純に決まるものだと考えておられますが、それは十分条件であり、定義としては不十分です。成分スケールで定義が成されていることに注意が必要です

お礼

ご回答ありがとうございました。また、返信が大変遅くなりまして申し訳ありません。行列の定義はその成分をどう定めるかにほかならないので行列の積の定義はご指摘の通りです。そして、その結果として、m × n 行列とn × l 行列の積が m × l 行列になるという行列の積の演算規則が生じるものと認識しています。

回答No.1

stomachman

そりゃ、
(A) 1 × 1 行列をスカラーと同一視することと、
(B) 1 × 1 行列を行列に掛ける演算をスカラーを行列に掛ける演算と同一視すること
とは別の話だからじゃないでしょうか。例えばテンソル積だと思えばおかしくないのでは？