行列成分の点列の収束について

質問

行列の指数関数を考える上で次のことを示したいのですが

M(n,R)をn次実正方行列全体の集合、A,B∈M(n,R)に

ノルムを

||Ａ|| = √tr(tＡＡ)

ρ（Ａ,Ｂ) = ||Ａ-Ｂ||

と定義する。ただし

tＡ はＡの転置行列、　trＡ はＡのトレース

このとき、M(n,R)の有界列{Ａk}の収束を示したいのですが、うまくいきません。

不等式を使えば示せるらしいのですがうまく収束をしめすことがどうもきれいな式にならないのです。

どなたかおしえていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

有界列{Ａk}の収束を示したいとのことですが、
ある特別な有界列{Ａk}の収束を示したいという意味なのでしょうか？
もしそうだとすればコーシーの判定法を用いてください。
||Ａn-Ａm||を計算して、nとｍを大きくすれば
これがいくらでも小さい値になることを言えばよいです。
行列のノルムが小さいということは、各成分の絶対値も小さいということです。
したがってこのノルムで収束するというのは
各成分の収束を意味します。

有界列{Ａk}の収束が、任意の有界列に対して
収束部分列が取れる、という意味であるならば
ボルツァーノワイエルストラスを成分の個数だけ
繰り返し用いて、対角線論法のようにすればよいです。

補足

すいません、特別な点列でなく任意の有界列だと思います。勘違いかもしれないのでもう少し考えます。すいませんお騒がせいたしました。