L2ノルムについて

質問

こんばんは。
ノルムの勉強をしていて、疑問が出てきたので、質問しました。

f,gがC[a,b]に含まれるとき、
||f－g||={∫(a→b)|f(x)－g(x)|^2dx}^1/2 (L2ノルム)が
ノルムの条件を満たすと書いてあったのですが、
条件１：||f||>=0,||f||=0⇔f≡0
条件２：||αf||=|α|・||f||,(αは実数)
条件３：||f+g||<=||f||+||g||
を考えたとき、条件２はすぐにわかったのですが
条件１と条件３がどうしても証明できません＞＜

アドバイスをお願いします＞＜

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

>条件３：||f+g||<=||f||+||g||

これはコーシー・シュワルツの不等式として有名ですね。証明はkabaokabaさんがご回答されているとおりですが、参考ＵＲＬも覗いてみてください。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/masema/pre_Hilbert.html

回答No.1

kabaokaba

見ている教科書に出てなかったら
他の教科書を探したりすると大抵はでていますが・・・

(1) 積分区間は省略します．
f>=0 のとき ∫f dx=0 ならば f≡0
証明できますか？
連続関数で考えているみたいなので
リーマン積分で考えれば十分でしょう．
ヒント：積分区間内で f≡0 ではないとすると，
積分区間内の一点 t で，f(t)が0ではない点が存在する．
fは連続なので，tの十分近傍 [s,u] で f>0 となるものが存在する．
[s,u] は積分区間に含まれるとしてよい．
このとき，∫fdx >= ∫_{s}^{t} fdx
＃ほとんど答えだな・・・こりゃ
＃＃リーマンじゃなくってルベーグだったら，f=0 a.e. です
＃＃そのときは，それこそルベーグ積分の入門書にあります．

(3)線型代数の教科書によく出てる手を使います．
ヒント：任意の実数 t に対して∫(f-tg)^2 dx >= 0 なので
t^2 ∫g^2 dx -2t∫fgdx + ∫f^2dx >= 0
よって，tについての二次不等式だと思って
判別式 <= 0を考えて
(∫fgdx)^2 - ∫g^2 dx ∫f^2dx <=0
一方，
||f+g||^2 = ∫(f+g)^2 dx = ∫f^2 dx + ∫g^2dx + 2∫fgdx
(||f|| + ||g||)^2
= ∫f^2 dx + ∫g^2 dx + 2 (∫g^2 dx ∫f^2dx)^{1/2}
あとは比較するだけ．
等号成立の条件は頑張ってください．
＃(1)を使います．