行列に関して教えてください。

質問

つぎの命題の証明の仕方を教えてください。

つぎの条件を満たす3×3行列Aを考える。
＊）すべてのiに対して、|| Ai || < 1（Ai：第i行ベクトル）
このとき次が満たされる。
(1- || A1 ||)×(1- || A2 ||)×(1- || A3 ||)
<=　(1- | λ1 |)×(1- | λ2 |)×(1- | λ3 |)

ここで、|| Ai ||は1ノルム（要素の絶対値の和）、
λiはAの固有値です。

回答No.1

grothendieck

Gershgorinの定理
「n次正方行列Ａの任意の固有値は
　　Ci =｛z｜ ｜z - aii｜≦∥Ai∥-｜aii｜｝
で定義されるｎ個の円Ciの合併集合の中にある。」
が使えないでしょうか。固有値λiが上の円の中にあるとすれば
　｜λi｜- ｜aii｜≦｜λi - aii｜≦∥Ai∥-｜aii｜
より
　｜λi｜≦∥Ai∥≦1
だから
　0≦1 -∥Ai∥≦1 -｜λi｜
よって
　(1- ∥A1∥)×(1- ∥A2∥)×(1- ∥A3∥)
≦(1- |λ1|)×(1- |λ2|)×(1- |λ3|)
しかし正確にはGershgorinの定理は固有値が円の合併の中にあることを言っているだけで、各円の中に1個ずつあるとは限らないので上の証明ではだめです。しかしGershgorinの定理と関係ありそうなので考えてみてください。Gershgorinの定理の証明は
　伊理正夫「一般線形代数」(岩波書店） p.191