何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?
R^∞はR^ω(R^ωはRの可算個の直積集合)の部分集合でやがて0になる数列{x_n}(有限個の項は非零)全体からなる集合とする時,何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?
正解はR＾∞ の箱位相と直積位相における閉包を夫々A,Bとすると
A=R^∞,B=R^ωのようです。
R^ωの直積位相T_pはTをRの通常の位相とすると
S:=∪[λ∈Λ]{π_λ^-1(U_λ);U_λ∈T}
(Λは可算な添数集合,π_λは射影)
とするとこのSはR^ω上の準開基をなし,
B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はR^ω上の開基をなし、
これから生成される位相T_pは
T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける。
箱位相T_bの定義は
B:={Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T}と置くとT_b:={∪[b∈B']b;B'⊂B}
それでT_p⊂T_bの関係になっていると思います。
ヒントは
∀x=(x_1,x_2,…)∈(R^∞)^cを取り,
ε_i=|x_i|/2 (x_i≠0の時),∞(x_i=0の時)
とすると
V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×…
はxの箱位相における近傍でR^∞∩V=φ
よってA=R^∞.
となっています。∀x=(x_1,x_2,…)が(R^∞)^cの内点になっているのでA=R^∞という事なんでしょうが
(0,0,…)はR^∞の元になっていてVの元にもなっていますよね。
したがってR^∞∩V=φは言えないと思うのですが…。
後半についてのヒントは
∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると
ある自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vで
R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φなのでR^∞∩V≠φである。
よってB=R^ω
となっているのですがこれも同様に∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωがR^∞の内点かもしくは境界点になっているのでB=R^ωとなるんだと思います。
xの任意の近傍Vはx∈V∈T_pと書けますよね。
それが{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vとどうしてなるのか分かりません
もしV=(-|x_1|-1,|x_1|+1)×(-|x_2|-1,|x_2|+1)×(-|x_3|-1,|x_3|+1)×…
とずっとなっている場合は,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと言えませんよね。
どのように解釈したらいいのでしょうか?
補足
トポロジーの開集合の族ではなく，Xに定義することのできるトポロジーの族です． 例えば Iが空集合なら{J_a} が離散位相，といったように，位相が要素の集合という意味です． 答えになっていなかったらすいません， ＞もし、そうならば、Iが有限じゃない場合でも、{∩J_a :a∈I}は、∩J_aを開集合とするX上のトポロジーになります。 について説明していただけますか？