開基と準開基はひとつにきまる？

質問

開基と準開基というのは，位相に対してただ一つに決まるものなのでしょうか？

(X,T) という位相空間に対して，準開基Sが与えられた場合，
準開基の要素の集合の有限個のインターセクションとしてつくった
開基，以外には開基は存在しないのか？

ひとつに決まりそうな気もするのですが，なんだか集合の要素が多すぎて頭の中で想像してもパニックに陥ってしまいます．．．

ついに，あさって試験で急いでます！
よろしくお願いします！

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

開基（あるいは準基）が与えられれば、それを開基（あるいは準基）とする位相は一意に定まります。が、位相が最初に定まっている場合には、その位相と合致する（換言すれば、その位相を導く）開基または準基は一意とは限りません。

具体的な実例（反例？）を挙げてもよいのですが直感的な誤解を解くために言えば、、、
> (X,T) という位相空間に対して，準開基 S が与えられた場合，
この表現はあまりよくありません。
単なる集合 X に対して、準開基 S （と呼ばれる X の部分集合からなる適当な族）を与えて位相空間 (X,T) を考える、あるいは X に位相 T を定める、というのが正しい順序です。

> 準開基の要素の集合の有限個のインターセクションとしてつくった開基，以外には開基は存在しないのか？
位相 T 自身も（Tの）開基でも準基でもあります。そして、「準基 S の要素の集合の有限個のインターセクションとしてつくったもの（の全体）」と T は一般には一致しませんよね。このことからも開基や準基の一意性が保障されないことは容易に想像できます。

# もちろん、位相空間 (X,T) があって、開基あるいは
# 準基を後から考えるという場合もあります。
# しかし、それは（一般には）たくさんある開基あるいは準基の
# 一つを適当に考えるという意味です。

お礼

ありがとうございます。とても勉強になりました。
位相空間→開集合→開基　というふうに思っていましたが逆なんですね！