どなたかこの問題頼みます。全く分からないです。

質問

どなたかこの問題頼みます。全く分からないです。
Ｘを実数全体ＲとしＪをＸの部分集合からなるσ加法族とする。このとき次の事実を示せ。
（１）Ｊが全ての有限開区間を含むなら、1点からなる集合｛ｘ｝を含む。
（２）Ｊが全ての有限開区間を含むなら、全ての有限開区間を含む。
（２）Ｊが全ての有限閉区間を含むなら、全ての有限開区間を含む。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

基本的に No.1 の通りなんですけど…

Ｊが全ての有限開区間を含む ⇒ (-∞,x) や (x,∞) も含む
の途中経過に、少し説明が要ります。
(x,∞) は、「有限」開区間ではありませんからね。

(x,∞) = ∪[n=0→∞] (x+n,x+n+2) とでもすれば済む話なんですが、
このとき、J に可算個の A_n が含まれていれば ∪A_n も含まれる
という J の「完全加法性」を使うことになります。
そのための「σ加法族」という仮定です。

回答No.1

hiziki63en

Ｊがσ加法族であるというのは、
「もしＪにＡとＢが含まれているなら、ＡとＢを足したり引いたりしたものもＪに含まれていなければならない」
という決まりです。
これのみ知っていれば全て明らかです。

（１）
Ｊが全ての有限開区間(a,b)とかを含むのだから、(-∞,∞)や(-∞,x)(x,∞)も含んでいるはず。
で、Ｊがσ加法族なので、これらを足し引きしたのもＪに含まれるはずだから｛ｘ｝を含む。

（２）問題間違っていませんか？

もう一つの（２）
Ｊが全ての有限閉区間[a,b]とかを含むのだから、[-∞,∞]や[-∞,a][b,∞]も含んでいるはず。
で、Ｊがσ加法族なので、これらを足し引きしたものもＪに含まれるはずだから(a,b)を含む。

式を用いた正確な証明はご自分で。
ここに式をむりやり買いてもぐちゃぐちゃになりますし。

レポートなら分かるところまで書いて、わかりませんと書いたほうがよいと思いますよ。

補足

ありがとー。
最初の（2）は後ろが有限'閉'区間のまちがいです。すいません。