何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?

質問

R^∞はR^ω(R^ωはRの可算個の直積集合)の部分集合でやがて0になる数列{x_n}(有限個の項は非零)全体からなる集合とする時,何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?

正解はR＾∞ の箱位相と直積位相における閉包を夫々A,Bとすると
A=R^∞,B=R^ωのようです。

R^ωの直積位相T_pはTをRの通常の位相とすると
S:=∪[λ∈Λ]{π_λ^-1(U_λ);U_λ∈T}
(Λは可算な添数集合,π_λは射影)
とするとこのSはR^ω上の準開基をなし,
B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はR^ω上の開基をなし、
これから生成される位相T_pは
T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける。

箱位相T_bの定義は
B:={Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T}と置くとT_b:={∪[b∈B']b;B'⊂B}

それでT_p⊂T_bの関係になっていると思います。

ヒントは
∀x=(x_1,x_2,…)∈(R^∞)^cを取り,
ε_i=|x_i|/2 (x_i≠0の時),∞(x_i=0の時)
とすると
V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×…
はxの箱位相における近傍でR^∞∩V=φ
よってA=R^∞.

となっています。∀x=(x_1,x_2,…)が(R^∞)^cの内点になっているのでA=R^∞という事なんでしょうが
(0,0,…)はR^∞の元になっていてVの元にもなっていますよね。
したがってR^∞∩V=φは言えないと思うのですが…。

後半についてのヒントは
∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると
ある自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vで
R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φなのでR^∞∩V≠φである。
よってB=R^ω

となっているのですがこれも同様に∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωがR^∞の内点かもしくは境界点になっているのでB=R^ωとなるんだと思います。
xの任意の近傍Vはx∈V∈T_pと書けますよね。
それが{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vとどうしてなるのか分かりません
もしV=(-|x_1|-1,|x_1|+1)×(-|x_2|-1,|x_2|+1)×(-|x_3|-1,|x_3|+1)×…
とずっとなっている場合は,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと言えませんよね。

どのように解釈したらいいのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

箱の方はおかしいです．
V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×…
ではなく
V=(x_1-ε_1,x_1+ε1)×(x_2-ε_2,x_2+ε_2)×…
でしょうか．
0ではない各成分の，その成分での十分小さい近傍をとることで
R^∞とは交わらない近傍を確保できます．

後半の直積に関しては
直積位相の定義をしっかりみなしましょう．
R^ωのSは，R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・
のように一個だけが「小さい」のです．
可算無限個だということに注意．
さて開基の定義にしっかり「有限」とあります．
この「有限個」の共通部分には
どんなに頑張っても「有限個」のπ_λ^{-1}U_λしかありません．
そのような「有限個」の「最大の添え字」nをとれば
ヒントのように処理できます．
ポイントは「無限個の直積」であることと，
位相の定義においては「有限個の共通部分が開集合」であることです．
有限次元ではこういうことは起こりません．

お礼

> 箱の方はおかしいです．
> V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×…
> ではなく
> V=(x_1-ε_1,x_1+ε1)×(x_2-ε_2,x_2+ε_2)×…
> でしょうか．

なるほど。ありがとうございます。これならε_1,ε_2,…を十分小さく取れば0を含みませんね。

> 後半の直積に関しては
> 直積位相の定義をしっかりみなしましょう．
> R^ωのSは，R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・
> のように一個だけが「小さい」のです．

そうですね。確かにSの元は一個(ひと項)だけが「小さい」ですね。

> 可算無限個だということに注意．
> さて開基の定義にしっかり「有限」とあります．
> この「有限個」の共通部分には
> どんなに頑張っても「有限個」のπ_λ^{-1}U_λしかありません．
> そのような「有限個」の「最大の添え字」nをとれば
> ヒントのように処理できます．

なるほど。一個だけが「小さい」Sの元達
R x R x ・・・x π_λ^{-1}U_λ x ・・・x R x ・・・
の有限個の共通部分は有限個だけが「小さい」
R×R×…×R×π_λ1^-1U_λ1×…×R×…×R×π_λ2^-1U_λ2
×R×……×R×π_λn^-1U_λn×R×…… …(1)
のような形の元の集合がT_pなのですね。

したがって
∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると
Vは(1)の形をしてるのである自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと書けますね。
あとはR^∞の元は有限個の項が非零で無限個の項が0なので
R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φとなり得りますね。
よってR^∞∩V≠φである。