双対空間について

質問

双対空間は、ベクトル空間Ｖの元ｘに対してＫの元を対応させる写像に対して、和とスカラー倍を

f + g: V → K; x → f(x) + g(x),
cf: V → K; x → c f(x)

のように定義するようですが、ＶからＫへの写像全ての集合が（双対）ベクトル空間をなすということは、Ｖの1つの元に対して2通りの写像 f, g が定義される場合だけでなく、fとgがＶの異なる元に対して定義されている場合についても、写像の和を定義しないと、いけないのではないでしょうか。

そうして初めて、「ＶからＫへの写像の集合」の中の任意の2つの元（つまりＶからＫへの写像を2つ）を取ってきた時に、和が定義されますよね。

任意の2つの元に対して和とスカラー倍が定義されるというのが、ベクトル空間をなすための条件ですから、3行目、4行目の式だけでは双対空間がベクトル空間をなすことになっていないような気がするのですが・・・。

とはいえ、双対空間についての解釈は多くの方々が認めていらっしゃるので、恐らく私の考えのどこかが間違っているのだと思います。
説明が下手で申し訳ありませんが、私の考えのどこが間違っているのかご指摘下さい。

回答No.1

take008

「Ｖの1つの元に対して2通りの写像 f, g が定義される」…この辺に誤解があるようです。
f + g: V → K; x → f(x) + g(x),
は
f : V → K; g: V → K; に対して，h(x) = f(x) + g(x) で定まる h : V → K; を 対応させる
という意味です。

すなわち
+ : (V → K,V → K) → (V → K); (f,g) → h

お礼

ごめんなさい、ほかの人は考えもしないような、おかしな勘違いをしてました。投稿してから気付きました
。