"自然な同型(標準的同型)"の決め方はこれでいい?

質問

"自然な同型(標準的同型)"を調べ中です。

VをF上の線形空間とする。
Dual(V):=vHom(V,F)…(1)と定義し,Dual(V)をVの双対空間と呼ぶ(vHom(V,F)はVからFへのベクトル空間準同型全体の集合を表す)。
f∈Map(V,Map(Dual(V),F))…(2) を次のように定義する。
V∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that Dual(V)∋∀λ→(f(x))(λ):=λ(x)
その時,f(x)はDual(V)上の線形汎写像,即ち,f(x)∈vHom(Dual(V),F)となる。
従って,f(x)∈Dual(Dual(V))…(3) と書ける(∵(1))。
そして,fはVからDual(Dual(V))への写像であり(∵(2),(3)),線形写像である(∵双対空間(1)の定義)。
更に今,dimV=dimDual(Dual(V))(=n)だから
V〓Dual(Dual(V))である(〓は同型の記号の意)
(∵[定理]V,WがF上の有次元線形空間ならばdimV=dimW⇔V〓W)。
そして,このfを自然な同型(natural identification)と呼ぶ。

という風に自然な同型の定義を解釈したのですが間違ってないでしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

勘違いしています．
まず一般的な話にします．

二つのベクトル空間V,Wが存在して，
それらが有限次元でdim(V)=dim(W)とする．
このとき確かにVとWは同型です．
しかし，VからWへの線型写像が「同型写像」であるとは限りません．
当たり前ですよね．ゼロ写像がありますから．

双対空間の話に戻ります．
自然な「写像」λ:V -> V** を
Vの元x，V*の元fに対して
λ(x)(f) = f(x)

Vが有限次元ならば，dim(V)=dim(V*)=dim(V**)だから
VとV**（とV*）は同型なんです．
しかし，VとV*の同型はそれほど重要ではなく
VとV**の同型がことさら取り上げられるのは，
VとV**の間の「自然な写像」が
実際に「同型写像」になるからです．
けど，質問者の議論では
本当に同型写像かは証明してませんよね？
質問者の論理は
「VとV**が同型だ，したがって自然な写像は同型だ」
といってるのです．

同じことを繰り返します．
VとV**が「同型」であるので確かに「同型写像」は存在します．
しかし，自然な写像がその同型写像であるかはまだ分からないのです．
自然な写像が同型写像であることを示さなければいけません．

>> 単射，全射，同型
>> の三つが同値であって，
>
>つまり、V,V*,V**が同型関係になっている事を言えばいいのですかね。

違います．線型写像の
次の基本的な定理を理解していますか？
ベクトル空間V，Wが有限次元であり，
f:V->Wが線型写像であるならば
dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V)
この定理より，線形写像に関しては
同型・単射・全射は同じ意味になるということです．

>という風に言えましたが勘違いしてますかね。
これは何も示していません．
線型写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトルといってるだけです．

お礼

ご回答大変有難うございます。

意味が分かってきました。
fはVからDual(Dual(V))への写像でこれがベクトル空間同型であるとは述べておりませんでした。

(i)fがベクトル空間準同型である事
∀x,y∈V,f(x+y)(λ)=λ(x+y)=λ(x)+λ(y)(∵λ∈Dual(V)なのでλは線形)
=f(x)+f(y)
同様にして∀c∈F,f(cx)=cf(x)も示される。

(ii)fが単射である事
∀x,y∈V,x≠yとすると(f(x))λ=λ(x),(f(y))(λ)=λ(y)
ここでλ(x)=λ(y)だとしてみると
λ(x-y)=0、、、、
から先に進めません。

(iii)fが全射である事
∀x∈Dual(Dual(V))を採ると、、、
から先に進めません。

うーん、スイマセン。どうやって示せますでしょうか。お手数お掛けしまして申し訳有りません。

回答No.8

jmh

> …を夫々Vの基底,Vの双対基底とすると…
>
(λi) は (ｖj) の双対基底？　λi(ｖj)＝δij （クロネッカーの）。

あなたが補足してくれたことのマトメ:
ｆ: Ｖ→Ｖ^*^* をｆ(ｘ)(λ)＝λ(ｘ) とすると、
　ｆは準同型。なぜなら（略）
　ｆは（全）単射。なぜなら基底をその双対基底の双対基底へうつす。
この同型ｆを「自然な」と呼ぶ。

お礼

どうも有り難うございました。
お蔭様で漸く理解できました。

回答No.7

jmh

> Dual(V):=vHom(V,F)…(1) (…)をVの双対空間と呼ぶ。
>
そうです。その Dual(V) は、しばしば、Ｖ^*（Ｖの右上に＊）と記されます。
# vHom って、Hom と同じ？

> V∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that …
>
ｆ：Ｖ→Ｖ^*^* を、ｆ(ｘ)(ｗ)＝ｗ(ｘ)（ｘ∈Ｖ、ｗ∈Ｖ^*）としたのですね。
# 普通、ここに∀って書くの？

> そこでf(x)をDual(Dual(V))の零写像と決めてやる。…
> …
> 、、、とやっと定義できたのですが勘違いしてませんでしょうか?
>
？　ｆは、上で決めたとおり「ｆ(ｘ)(ｗ)＝ｗ(ｘ)」で定義できてます。残った問題は「ｆ(ｘ)(ｗ)＝ｗ(ｘ)としたらｆは線型な単射か？」じゃないかしら？　ｆが線型な単射なら、Ｖ→ｆ(Ｖ) を「（自然な）同型」と呼べるようになると思います。

ｆが「同一視」だと、ｘ∈Ｖとｆ(ｘ)∈Ｖ^*^* を区別して書かないので、ｆ(ｘ)(ｗ) を ｘ(ｗ) って書くコトになります。ｘ(ｗ)＝ｗ(ｘ) だから、ｘでｗを写像してるのか、ｗでｘを写像してるのか、区別できなくなってきますね。

お礼

何とか理解でき始めてます。
Dual(V)=mHom(V,F)…(1)をVの双対空間という。
f∈Map(V,Map(Dual(V),F)…(2);V∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that Dual(V)∋∀λ→(f(x))(λ):=λ(x).この時,f(x)はDual(V)じょうのF線形空間即ち,f(x)∈vHom(Dual(V),F)…(3)
で従って,f(x)∈Dual(Dual(V))(∵(1),(3))
ここでf(x)をDual(Dual(V))の零写像とするとx=0となる,つまりKer(f)={0}。
(∵f(x)=0⇔∀λ∈Dual(V),(f(x))(λ)=0λ(この0は零写像を意味する)⇔λ(x)=0 …(*).そこで{v1,v2,…,vn},{λ1,λ2,…,λn}を夫々Vの基底,Vの双対基底とするとx=Σ[i=1..n]aivi(ai∈F)、そしてλi(x)=aiλi(Σ[i=1..n]vi)=ai …(**).一方,λi(x)=0(∵(*))∴ai=0(i=1,2,…,n)(∵(**))∴x=0)
従ってfは単射でdimV=dimDual(Dual(V))(=n)からfは全単射つまり,fは同型写像
このfをnatural identificationと呼ぶ。。。
で大丈夫でしょうか?

回答No.6

kabaokaba

>これはどちらかに統一した方がいいんですよね。

別に統一しません．
<x,f>=<f,x>=f(x)
なら内積の交換性とも合致してより見やすいから．
要は f(x)と書くか，x(f)と書くかだけの違いで
fが与えられてそれにxを作用させると考えるか，
xが与えられてそれにfを作用させると考えるか
という問題で，これが「同じ」だから
VとV**が「同じ」というのは「双対」ってことです．

一般にはVがV**に埋め込まれ，有限次元のときは同型になるので
単射性の方が本質でしょう．

>fが全射である事だけいいので<>を使わずにご証明賜れませんでしょうか??
もう書いてますのでご自分の言葉で証明してください．
ただし，単射の証明のほうが簡単です．

お礼

有難うございます。

何とか理解でき始めてます。
Dual(V)=mHom(V,F)…(1)をVの双対空間という。
f∈Map(V,Map(Dual(V),F)…(2);V∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that Dual(V)∋∀λ→(f(x))(λ):=λ(x).この時,f(x)はDual(V)じょうのF線形空間即ち,f(x)∈vHom(Dual(V),F)…(3)
で従って,f(x)∈Dual(Dual(V))(∵(1),(3))
ここでf(x)をDual(Dual(V))の零写像とするとx=0となる,つまりKer(f)={0}。
(∵f(x)=0⇔∀λ∈Dual(V),(f(x))(λ)=0λ(この0は零写像を意味する)⇔λ(x)=0 …(*).そこで{v1,v2,…,vn},{λ1,λ2,…,λn}を夫々Vの基底,Vの双対基底とするとx=Σ[i=1..n]aivi(ai∈F)、そしてλi(x)=aiλi(Σ[i=1..n]vi)=ai …(**).一方,λi(x)=0(∵(*))∴ai=0(i=1,2,…,n)(∵(**))∴x=0)
従ってfは単射でdimV=dimDual(Dual(V))(=n)からfは全単射つまり,fは同型写像
このfをnatural identificationと呼ぶ。。。
で大丈夫でしょうか?

回答No.5

kabaokaba

x**が<x，・>と表せることについては
VとV**の「自然な同型」の対応を考えてください．
ほとんど明らかです
λ(x)=x**
λ(x)(f)=<x,f>=<f,x>=f(x)
というだけです．

この手の議論，記号が錯綜するので，適宜置き換えや
（自分がみて）分かりやすい文字（や記号）を工夫して
実際に紙に
「図」などを「大きめに」書いて冷静に追いかけてください．
追いかけるときに，
「V*の元を写像と見る」
「V*の元をベクトルと見る」
という視点がごっちゃにならないように気をつけるのが
寛容です．
また「大きめに」書くのも重要で，間違えたときは消しゴムを
使わずに「線で消す」というのも有効です．
＃これはこの手の混線しやすい議論一般に有効．
＃鉛筆ではなくボールペンを使うのも消せないので有効

引用開始

「<x,f>=0 が任意のfについて0となることを示せばよい．fとして恒等写像idをとれば 0=<x,id>=id(x)=x」
の仰っている意味がわかりません。

引用終わり

あー，書き間違えました．

<x,f>=0 が任意のfについて0であると仮定したときに
x=0であることを示せばよい

です．すなわち，
「<x,・>=0 ならば x=0 」
ことを示すのです．
写像的に書けば，「λ(x)=0 ならば x=0」です．

この手の議論が書かれている線型代数の本は
佐武一郎「線型代数学」
しか知りません（洋書でも見かけたことはほとんどないですが，
洋書の線型代数の本自体をほとんど読んだことはない）．
これだけ双対とかにこだわられるならば，
他にもいろいろ面白い（他の本にはあまりでていない）内容で，
そのくせ応用上頻繁に使われる内容が
出てる本なので一読をお勧めします．

お礼

ご回答有難うございます。

> <x,f>=f(x)
> <f,x>=f(x)
> という具合に．

これはどちらかに統一した方がいいんですよね。

> x**が<x，・>と表せることについては

この「・」は何らかの写像という意味ですね。

> VとV**の「自然な同型」の対応を考えてください．
> ほとんど明らかです
> λ(x)=x**
> λ(x)(f)=<x,f>=<f,x>=f(x)
> というだけです．

うーん、ちょっと分かりません。「<>」の記号を使わずにご説明賜れませんでしょうか?

> この手の議論，記号が錯綜するので，適宜置き換えや
> （自分がみて）分かりやすい文字（や記号）を工夫して
：
> ＃これはこの手の混線しやすい議論一般に有効．
> ＃鉛筆ではなくボールペンを使うのも消せないので有効

了解致しました。

> あー，書き間違えました．
> <x,f>=0 が任意のfについて0であると仮定したときに
> x=0であることを示せばよい
> です．すなわち，
> 「<x,・>=0 ならば x=0 」
> ことを示すのです．
> 写像的に書けば，「λ(x)=0 ならば x=0」です．

つまり、(f(x))(λ)(=λ(x))=0ならばx=0を示せという事ですね。

fが全射である事だけいいので<>を使わずにご証明賜れませんでしょうか??

> この手の議論が書かれている線型代数の本は
> 佐武一郎「線型代数学」
> しか知りません（洋書でも見かけたことはほとんどないですが，
> 洋書の線型代数の本自体をほとんど読んだことはない）．
> これだけ双対とかにこだわられるならば，
> 他にもいろいろ面白い（他の本にはあまりでていない）内容で，
> そのくせ応用上頻繁に使われる内容が
> 出てる本なので一読をお勧めします．

探してみたいと思います。

回答No.4

kabaokaba

まず「自然な写像」が線型写像であること．
V*の任意の元x,y，任意のスカラーa,b，V*の任意の元fに対して
λ(ax+by)(f)=f(ax+by)=af(x)+bf(y)
=aλ(a)(f)+bλ(y)(f)
すなわち，λ(ax+by)=aλ(a)+bλ(y)

それで，いちいちλとか書くのは面倒なので
こういうのは内積表記するのです．
すなわち
<x,f>=f(x)
<f,x>=f(x)
という具合に．そうすると見やすい上に計算しやすいのです．
λの線型性も示したので，形式的な表記としては十分です．
このとき，λ(x)(・)は<x,・>とかけるし，f(・)は<・,f>と書けます．
この表記のもとでは
Vの元xの双対の双対x**がx**=<x,・>と書けることに注意です

そして，「自然な線型写像」が単射であること．
<x,・>=0すなわち
<x,f>=0 が任意のfについて0となることを示せばよい．
fとして恒等写像idをとれば 0=<x,id>=id(x)=x
したがって，自然な線型写像のカーネルは{0}すなわち単射．

VとV**の次元は等しいので「自然な線型写像」は同型．

おまけ：自然な線型写像が全射であること
V**の任意の元vに対して，Vのある元xが存在して
<x.f>=f(v)
が任意のf（V*の元）に対して成立することを示せばよい．
Vの基底{ei}をとり，<ei,・>をとる．
このとき，{<ei,・>}は{ei}の双対基底の双対基底となることに注意．
そこでv=Σviei**として
x=Σviei
と定めれば，V*の任意の元fに対して
<x,f>=Σvi<ei,f>=Σvif(ei)=f(v)
すなわち，<x,・>=v

お礼

ん?? <x,・>と<x,f>は同意なのですか?

> 任意のfについて0となることを示せばよい．
> fとして恒等写像idをとれば 0=<x,id>=id(x)=x
> したがって，自然な線型写像のカーネルは{0}すなわち単射．

この自然な線形写像が"Ker(f)={0}ならfは単射"という事を利用されたのだと思います。
つまり、"∀x∈V＼{0},f(x)≠{0}"なら線形写像fは単射ですよね。

「<x,f>=0 が任意のfについて0となることを示せばよい．fとして恒等写像idをとれば 0=<x,id>=id(x)=x」
の仰っている意味がわかりません。
任意のfについて議論しようというのに都合のよいidを採ってきて議論なさってますよね。
これは何故なのでしょうか?

> VとV**の次元は等しいので「自然な線型写像」は同型．

これは納得です。

> おまけ：自然な線型写像が全射であること
> V**の任意の元vに対して，Vのある元xが存在して
> <x.f>=f(v)
> が任意のf（V*の元）に対して成立することを示せばよい．

つまり、∀y∈V**,∃x∈V such that f(x)=yですね。

> Vの基底{ei}をとり，<ei,・>をとる．

<ei,・>は<ei,f>の事なんですよね(上述から<x,・>と<x,f>は同意なんでしたよね)。

> このとき，{<ei,・>}は{ei}の双対基底の双対基底となることに注意．
> そこでv=Σviei**として
> x=Σviei
> と定めれば，V*の任意の元fに対して
> <x,f>=Σvi<ei,f>=Σvif(ei)=f(v)
> すなわち，<x,・>=v

えーと,つまりΣviei**をy∈V**とするとΣvieiがx∈Vとなるという訳ですね。

補足

ご回答大変有難うございます。

> まず「自然な写像」が線型写像であること．
> V*の任意の元x,y，任意のスカラーa,b，V*の任意の元fに対して
> λ(ax+by)(f)=f(ax+by)=af(x)+bf(y)
> =aλ(a)(f)+bλ(y)(f)
> すなわち，λ(ax+by)=aλ(a)+bλ(y)

これは納得です。

> それで，いちいちλとか書くのは面倒なので
> こういうのは内積表記するのです．
> すなわち
> <x,f>=f(x)
> <f,x>=f(x)
> という具合に．

とんがり括弧にfとxを逆順にするのですね。

> そうすると見やすい上に計算しやすいのです．

有難うございます。このような表記法は知りませんでしたので大変参考になります。

> λの線型性も示したので，形式的な表記としては十分です．
> このとき，λ(x)(・)は<x,・>とかけるし

<λx,・>の間違いではないのですかね。

> ，f(・)は<・,f>と書けます．

これは納得です。

> この表記のもとでは
> Vの元xの双対の双対x**がx**=<x,・>と書けることに注意です

これが分かりません。どうしてx**=<x,・>なのでしょうか?

> そして，「自然な線型写像」が単射であること．
> <x,・>=0すなわち
> <x,f>=0 が

回答No.2

kabaokaba

>という風に自然な同型の定義を解釈したのですが間違ってないでしょうか?

自然な「写像」のとり方は正解
Vの元 x に対して，V**の元を
V*の元 f に対して，f(x)として定める
つまり，x: f -> f(x) と解釈して．
xに対応するV**の元とみなすわけ．

しかし，こう定めることと
VとV**の次元が「同じ」だから，
この自然な写像が「同型」になる
というのは結論を急ぎすぎ．
Vが有限次元のときはV**も同じ次元だから
単射，全射，同型
の三つが同値であって， 例えば
xがV**の元として0だったら，実はxそのものが0であることを
示してあげないといけない．

お礼

どうも有り難うございます。
ご回答拝見致しましたが
あと何を示せばいいのかイマイチ分かりません。

> 単射，全射，同型
> の三つが同値であって，

つまり、V,V*,V**が同型関係になっている事を言えばいいのですかね。

それは
Vは有限次元F線形空間で
V〓V*〓V** …(*)
(∵dimV=dimV*(∵Vの双対基底の定義)=dimV**(∵V*の双対基底の定義))
という事実からいえますよね??

>例えば
> xがV**の元として0だったら，実はxそのものが0であることを
> 示してあげないといけない．

全単射∃f:V**→V (∵(*))
この時、f(0**)=f(0・0**)=0f(0**)(∵fは線形写像)
=0・v (v∈V) =0(:Vの零元)

という風に言えましたが勘違いしてますかね。

回答No.1

jmh

それって、コレと同じ？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93#.E5.8F.8C.E5.AF.BE.E6.80.A7

お礼

ご回答有難うございます。

あれからまた考えまして行列はどう使えばいいのか分からずとりあえず下記のように定義しなおしました。

Dual(V):=vHom(V,F)…(1) (vHom(V,F)はVからFへのベクトル空間準同型写像全体の集合を表す)をVの双対空間と呼ぶ。
そしてf∈Map(V,Map(Dual(V),F))…(2)をV∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that Dual(V)∋∀λ→(f(x))(λ):=λ(x).
この時,f(x)はDual(V)上の線形汎写像となっている。即ちf(x)∈vHom(Dual(V),F)…(3)(∵∀λ,μ∈Dual(V),(f(x))(λ+μ)=(λ+μ)(x)(∵def of f)=λ(x)+μ(x)(∵def of sum of dual space)
=(f(x))(λ)+(g(x))(μ)(∵def of f)
∀c∈F,(f(x))(cλ)(∵by cλ∈Dual(V),def of f)=c(λ(x))(∵def of scalar multiple of dual space)=c(f(x))(λ)(∵def of f))
従って,f(x)∈Dual(Dual(V))…(4)(∵(1)と(3)).更にはfはVからDual(Dual(V))への写像になっていて(∵(2)と(4))線形にもなっている(∵双対空間の定義)。
そこでf(x)をDual(Dual(V))の零写像と決めてやる。つまり,f(x)=0.その時,x=0となる。
(∵零写像の定義から∀λ∈Dual(V),((f(x))(λ)=)λ(x)=0.その時,1(x)=0(1はDual(Dual(V))の単位写像(つまり,恒等写像))であるからx=0でなければならない)
従って,Ker(f)={0}(∵kernelの定義)
よってfは単射(∵命題「V,WをF線形空間,fがVからWへの線形写像とする時,fが単射⇔Ker(f)={0}」)
しかもdimV=dim(Dual(Dual(V))(=n)であるから,fは全単射(∵命題「V,WをF線形空間,fがVからWへの線形写像とする時,fは同型写像⇔fは単射⇔fは全射」)
結局,fは線形且つ全単射。　このfをnatural identification(自然な同型)と呼ぶ。

、、、とやっと定義できたのですが勘違いしてませんでしょうか?