部分ベクトル空間であることの証明

質問

Vをベクトル空間、WをVの空でない部分集合とする。

集合Wが次の2条件（1）（2）を満たせば、Wはベクトル空間（加法とスカラー倍はVのと同じものを使う）になることを示せ。

（1）Wの任意の元a,bに対して、a+bもWの元となる
（2）Kの任意の元k、Wの任意の元aに対して、kaはWの元となる

この証明なのですが、以下のように示しました。

（∵）
WがVの部分ベクトル空間であるには、
（1）Wが空集合でない
（2）Wがベクトル空間の性質を全て満たす
（3）Wが加法、スカラー倍について閉じている
の3つである。

（1）は題意より明らか。
（2）は、Vがベクトル空間で、WはVの部分集合であることから、Wも当然ベクトル空間の性質を満たす。
したがって、残りの（３）のみを満たしていれば良い。

Q.E.D

こんな感じでよろしいでしょうか？
稚拙な部分等ありましたらご指摘お願いします。

回答No.1

Tacosan

「ベクトル空間の性質」ってなんでしょうか?
いや, 「和とスカラ倍について閉じている」というのも「ベクトル空間の性質」の 1つじゃないかなぁと思ったので.