行列空間と固有ベクトル

質問

簡単な問題なのかもしれないのですが，何度解いてもわかりません＞＜

３次元正方行列全体のなすベクトル空間をVとする。
行列A=((2 0 0)^t (0 -1 0)^t (0 0 -1)^t)として
線型写像f:V→Vをf(X)=AX-XA (X∈V)と定義する。
(1) E_13=((0 0 0)^t (0 0 0)^t (1 0 0)^t)
　 が固有ベクトルであることを示せ。

(3) 線型写像fに関して，固有値と対応する固有空間を全て求めよ。

という問題で，(1)を解いて，固有値の1つが3となったのですが，(3)で
AX-XA=λXとして固有値を求めると，λ=0,±√3となってしまいます。。。
どなたか解説お願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

そう。　単純に、f(X) = λX として解けばいい。

X の成分を
x_11　　x_12　　x_13
x_21　　x_22　　x_23
x_31　　x_32　　x_33
と置くと、

AX-XA の成分は
0　　　　　3・x_12　　3・x_13
-3・x_21　　0　　　　　0
-3・x_31　　0　　　　　0
となる。

f は、このような、R^9→R^9 の線型写像。

AX-XA = λX を解けば、
(λ = 0　かつ　x_12 = x_13 = 0,　x_21 = x_31 = 0)　または
(λ = 3　かつ　x_21 = x_31 = 0,　x_11 = x_22 = x_23 = x_32 = x_33 = 0)　または
(λ = -3　かつ　x_12 = x_13 = 0,　x_11 = x_22 = x_23 = x_32 = x_33 = 0)
となる。

すなわち、f の固有値は 0, ±3 で、固有空間は…
固有値 0 に対して、5 次元空間 x_12 = x_13 = x_21 = x_31 = 0。
固有値 3 に対して、2 次元空間 x_21 = x_31 = x_11 = x_22 = x_23 = x_32 = x_33 = 0。
固有値 -3 に対して、2 次元空間 x_12 = x_13 = x_11 = x_22 = x_23 = x_32 = x_33 = 0。

これが、(3) の答えかな。
書き方は、もそっとしゃんとせなあかんけど。

固有値 3 の固有空間は、{ x_12・E_12 + x_13・E_13 | x_12, x_13 ∈ R } と書ける。
E_12 がどんな行列だか、わかる？

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

(1) は、「f の」固有ベクトルの話をしているんだろうから、
E_13 は、「固有ベクトル」であって、「固有空間」ではなかろう。

E_13 は、「3 次元正方行列全体のなすベクトル空間」V の元。
9 次元のベクトルやね。

f と、線型写像 u→Au が、どうしてもゴッチャになってしまうなら、
f の表現行列を、9×9 の行列で書き出してしまえば、スッキリする
かもしれない。

補足

すいません。問題が理解できてないのかもしれません。
問題は
実数を成分となす３次元正方行列全体のなすベクトル空間をVとする。
行列A=((2 0 0)^t (0 -1 0)^t (0 0 -1)^t)として
線型写像f:V→Vをf(X)=AX-XA (X∈V)と定義する。
(1) E_13=((0 0 0)^t (0 0 0)^t (1 0 0)^t)
　 が固有ベクトルであることを示せ。

(3) 線型写像fに関して，固有値と対応する固有空間を全て求めよ。

という問題なのですが，どのように解けばいいのか解説していただけませんか??単純にf(X)=λXとして解けばいいと考えていたのですが--;

回答No.2

Tacosan

「固有空間」と書かれてるけど, それは「E_13 が何かの何かに関する固有空間である」という主張? だとしても, E_13 が線形空間であるようには見えないし, 「何の」「何に」関する固有空間かわからないと無意味なんだけどなぁ.... つまり, それぞれで「何に対して何に関する固有値や固有ベクトルを求めているのかちゃんと把握できてますか」ってこと.
例えば「(1)を解いて，固有値の1つが3となったのですが」の「3」は「何の」固有値ですか? そして, その後にある「AX-XA=λXとして固有値を求めると，λ=0,±√3となってしまいます」における固有値は「何の」固有値ですか? この 2つの「何」は同じものを指しているのですか?

回答No.1

Tacosan

何も考えてないけど, (1) の「固有ベクトル」って何の固有ベクトルのこと?
あと, それは「ベクトル」?

補足

すいません。固有空間です;;