双対空間＆写像

質問

今、バナッハ空間を勉強していますが、線形汎関数のイメージがよくできません。

線形作用素はバナッハ空間からバナッハ空間への写像。
その中でスカラー値をとるものを線形汎関数。
双対空間とは線形汎関数の集合ということですが、線形汎関数とはどこからどこへの写像なのでしょうか？？

どの参考書を読んでも、当たり前の事＆基本的なこと過ぎて書かれていません(汗)
素人でもわかるように教えていただけると嬉しいです。
宜しくお願い致します。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

線形作用素は、ベクトル空間から、ベクトル空間への(線形)写像、
線形汎関数は、ベクトル空間から、その空間の基礎体への(線形)写像です。
基礎体の元を、そのベクトル空間の「スカラー」と呼びますが、
基礎体は、一次元ベクトル空間ですから、
線形汎関数も、線形作用素の一種ということになります。

双対空間は、線形汎関数の集合に、一次結合を
(a f + b g)(x) = a f(x) + b g(x) によって定義したものです。
f,g が線形汎関数、a,b がスカラー、x がベクトルを表しています。
この一次結合によって、双対空間は、また別のベクトル空間になります。
大雑把な話、x を列ベクトル、f,g を行ベクトルと考えるようなモンです。
行ベクトルと列ベクトルの行列積は、一次関数になりますね？

お礼

とてもわかりやすい説明をありがとうございます。
自分、読み足りなかったです！！

回答No.1

jmh

> 線形作用素はバナッハ空間からバナッハ空間への写像。
> その中でスカラー値をとるものを線形汎関数。
>
「バナッハ空間で定義されたスカラー値関数である」と言っているような気がします。