双対空間のある証明

質問

線形空間Vの元xに対して、(V*)* (Vの双対空間の双対空間)　の元Txを

　　　　　　　Tx(f)=f(x) (fはV*の元)　　　　　　　で定義する。

このとき、写像　x→Tx　は線形同型写像である事を証明せよ。
（Vはもちろん有限次元と仮定している。無限次元では正しくない。）

という問題で、まず線形写像である事を示そうと思い、

Vの元からx,y 体Kからcを持ってきて、fは定義から線形写像だから

　　　　　　　　f(x+y)=f(x)+f(y),f(cx)=cf(x)より、

Tx+y(f)=f(x+y)=f(x)+f(y)=Tx(f)+Ty(f)
Tcx(f)=f(cx)=cf(x)=cTx(f)

が成り立つ事から、Txも線形写像である事が示せることはわかったのですが、同型写像を示す時、これはTxが全単射である事がいえればいいわけですよね。

ここから先が全く分からなくて困っています。どなたか私に知恵を授けてください。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>少し見慣れない表記でδ_{ij}があるのですが、これは何を表しているのですか？
クロネーカーのデルタ

δ_{ij} = 1 ( i = j), = 0 ( i ≠ j)

>これとは違うのですか？
おなじ

回答No.1

koko_u_

>これはTxが全単射である事がいえればいいわけですよね。
V の基底を {e_1, ..., e_n}とすると、V* の基底は{f_1, ... , f_n} ( f_i(e_j) = δ_{ij} )

お礼

回答ありがとうございます！！

基底を用いて全単射を示すわけですね！
少し見慣れない表記でδ_{ij}があるのですが、これは何を表しているのですか？私が使っている教科書にはこういう表記がなくて・・・。

似たものだと

Vの元xをx=x_1e_1+,...,+x_ne_nと表したとき、定義でf_i(x)=x_iというものがあるのですが、これとは違うのですか？

是非教えてください！