x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

質問

[問]　ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え．
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから，係数体はRではなく，C．

あとは定義にしたがって，
dualな基底を書き下せばいいだけ．
y1(x1)=1，y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし，
v=(v1,v2,v3)とすれば，a，b，cはv1，v2，v3で表現できる
＃単なる基底変換の問題．

お礼

>>C^3の次元は6(
> これが間違え．
> 「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
> といってるんだから，係数体はRではなく，C．
そうでした。勘違いしてました。

> あとは定義にしたがって，
> dualな基底を書き下せばいいだけ．
> y1(x1)=1，y1(x2)=y1(x3)=0であって
> v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし，
> v=(v1,v2,v3)とすれば，a，b，cはv1，v2，v3で表現できる
> ＃単なる基底変換の問題．

y1(x)=0・y1(x1)+1/2y1(x2)-1/2y1(x3) (∵y1は線形写像)=δ11+1/2δ12-1/2δ13=1
同様にして
y2(x)=0・y2(x1)+1/2y2(x2)-1/2y2(x3) (∵y2は線形写像)=δ21+1/2δ22-1/2δ23=1/2

でいいわけですね?