ヒルベルト空間について質問です

質問

大学の量子力学の授業でもらったプリントに
ヒルベルト空間の双対空間は自分自身である。
ヒルベルト空間では線形写像ｆによってVとD(V)は同一視できる。
と書かれているのですがどういうことでしょうか？
braベクトルとketベクトルの集合は異なると思うのですが、なぜ上のことが成り立つのか回答お願いします。

回答No.3

metzner

こんにちは。

>ヒルベルト空間では線形写像ｆによってVとD(V)は同一視できる。

そのプリントに書かれている線形写像fの具体的定義を書いてください。
（おそらくは反線形写像だとおもいますが。もしくは内積が実数値の場合のみを
考えているか。いずれにせよ一般的にそのプリントの主張は成立しないと思いますが。。）

>braベクトルとketベクトルの集合は異なると思うのですが、

異なる集合でも１対１に対応すれば、同一視してもいいですよね。
たとえば｛りんご、みかん｝、｛佐藤さん、鈴木さん｝、｛A,B}、｛甲、乙｝、｛１、２｝
の集合たちの要素はすべて異なりますけど、これらを同一視しても（それが必要なら）
かまいませんよね。（例えば法律などでは、甲を売り主、乙を買い主として、続く文章では甲、乙で書くのも、そういう同一視と思ってよい）その同一視の規則が上のfです。

以下、内積が実数であるという場合の有限次元のヒルベルト空間でその同一視を
考えます。

VからD(V)への写像fを、Vの元vにたいして
<v|...>というD(V)の元（すなわちVの元xに対して<v|x>という実数を対応させるという D(V)の元）
を対応させるものとします。
するとこれは（実数値の）内積の性質
（<v1+v2|...>=<v1|...>+<v2|...>, <av|...>=a<v|...>,aは実数、v,v1,v2はVの元）
から線型写像になります。
そしてD(V)の元として<v|...>=0となるのは内積の性質
（すべてのyにたいして<x|y>=0ならx=0）
からv=0となります。したがって以上の事から線形写像fは１対１の写像となります。
ここでVがN次元なら D(V)もN次元となりますので、線形代数で習う次元定理
dimV=dimf(V)+dimkerf
を使うとkerf=0よりdimf(V)=Nとなりf(V)=D(V)がわかります。
よってfは上への写像(f(V)=D(V))になります。
よって線形構造を含めてVとD(V)は同一視（あますことなく１対１に対応）できます。
（なおここの同一視は相対論での共変、反変ベクトルの同一視の議論と同じです）

お礼

お礼が遅くなりましたすいません。一番理解できなかった同一視という意味が理解できたと思います。
ありがとうございました。機会があったらまたおねがいします。

回答No.2

morimot703

確かに、連続固有値を持つ状態では、braベクトルとketベクトルの集合は異なります。
しかし、その場合、braベクトルはヒルベルト空間をはみ出します。
したがって、braベクトルとketベクトルが共にヒルベルト空間をなす場合、つまり、
離散固有値を持つ状態では、
braベクトルの空間は、ketベクトルの空間の双対空間となり、
∴　ヒルベルト空間の双対空間は自分自身です。
//
＞ヒルベルト空間では線形写像ｆによってVとD(V)は同一視できる。
この文の意味は、わかりません。D(V)って何を意味してますか？
関係ないかも知れませんが、状態ベクトルは、その任意倍の状態ベクトルと、
同じ状態を表します。
（これを「状態は　状態ベクトルの射線で表される」といいます）

補足

回答ありがとうございます。
＞＞braベクトルとketベクトルが共にヒルベルト空間をなす場合
この文についてなのですが、私がよくわかっていないのだと思いますけれども、braとketがともにヒルベルト空間をなすということが理解できません。braは写像でketはベクトルなのに同じ空間をなすというのが理解できません。

また、
＞＞braベクトルの空間は、ketベクトルの空間の双対空間となり、
∴　ヒルベルト空間の双対空間は自分自身です。
この文についてなのですがbraの空間はketの双対空間になるというのは分かるのですが、そうなるとなぜヒルベルト空間の双対空間になるのでしょうか？

D(V)はヒルベルト空間H(V、（・、・））に対しVの双対空間です。写像ｆについてはｆ（Ψ）（φ）＝（Ψ、φ）というように内積をとるものです。ｆ（ketΨ）＝braΨ　　ｆ＾-1（braΨ）＝ketΨという関係です。

私の勉強不足のため質問の内容もおかしい部分があるかもしれませんが、またぜひ回答お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya

質問者さんは、物理学科の学生さんだよね。

http://www.resceu.s.u-tokyo.ac.jp/~nakashima/cl2qp07_13.pdf

の「13.2 ブラとケット」
までに書いてある内容程度の理解でいいのでは。

数学のヒルベルト空間に首を突っ込むと、おそらく、質問者さんのアタマは死んでしまいます。

ヒルベルト空間は、ベクトルの内積が定義できる抽象的なベクトル空間だと考えてください。
ブラ・ベクトルであろうが、ケット・ベクトルであろうが、ベクトルであることには変わらないでしょう。

わたしは奨めませんが、
どうしてもヒルベルト空間を知りたいのであれば、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
などをご覧になってください。

補足

回答ありがとうございます。braベクトルもketベクトルもベクトルには変わりないとおっしゃいますが私の受けた講義においても
http://www.resceu.s.u-tokyo.ac.jp/~nakashima/cl2qp07_13.pdf
の説明においてもbraは線形写像であると言っているのですがどうなのでしょうか。
線形写像とベクトルが同じ空間になるというのが理解できません。教えていただけると嬉しいです。