双対空間と逆行列の関係について

質問

線形写像f:V→Wに対して、V*からW*（それぞれV,Wの双対空間）の線形写像tfにを考えると、この時tfが転置行列に相当するらしいのですが、なぜそうなるのか分かりません。

V=K^n,W=K^m、f(x)=Ax,Aはm×n行列とした場合に教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

問題が正しいですか？
ちがうでしょう？
W*からV*でしょう．

f:V->Wに対して，f*:W*->V*（質問ではtfと書かれているが
慣習にしたがってf*と書くことにする）の定義は
f*(φ)(v)=φ(f(v))（φはW*の元，vはVの元）
であるので，
あとは，普通にVとWの基底をとって，fの表現行列をとって
それからその基底に対する
V*とW*の双対基底をとって
f*を行列表現すれば終わり．

Vの基底を{v1,v2,...,vn}，
Wの基底を{w1,wn,...,wm}とすれば，fの表現行列A=(aij)は
(f(v1),f(v2),....,f(vn))=(w1,w2,...,wm)(aij)
と表される．
V*の双対基底を{v*1,v*2,...,v*n}，
W*の基底を{w*1,w*n,...,w*m}とすれば
Vの基底の元viに対して
(f*(w*1)(vi),...,f*(w*m)(vi))
=(w*1(f(vi)),...,w*m(f(vi)))
=(w*1(a1iw1+…+amiwm),...,w*m(a1iw1+…+amiwm))
=(a1i,...,ami)
これより
v=x1v1+…+xnvnに対して
f*(w*j)(v)
=x1aj1+…+xnajn
=v*1(v)aji+…+v*n(v)ajn
であるので
f*(wj)=v*1 aj1+…+v*n ajn
(Aij)=(aji)とおくと
f*(wj)=v*1 A1j+…+v*n Anj
つまり，
(f*(w*1),...,f*(w*m))=(v*1,...,v*n)(Aij)
つまり，f*の表現行列は(Aij)=(aji)で転値行列．

なおこれは一般の有限次元ベクトル空間で有効な証明．

お礼

W*からV*の間違いです。
分かりやすく教えていただきありがとうございます。