infの中にsupがあるとき

質問

こんにちは．

inf｛sup　S｝という表記の場合，
解釈すればよいのでしょうか？

Sの最小上界(上限)ですから，
supSだけでよいと思われるのですが，
どうして，infがついているのでしょうか？

情報が少ないですが，ご経験のある方お願いします．

回答No.1

adinat · ベストアンサー

Sにパラメータが二つついていて、supとinfは違うパラメータに関するものだからです。たとえばS=S(x,y)=x^2+y^2とします。supはx∈(-1,1)に関するものだと仮定します。そうすると、sup S=1+y^2となります。infはy∈(-1,1)に関するものとします。そうすると、inf(sup S)=1となります。この場合は、infとsupを入れ替えても同じ結論がいえますが、かならずしも順番を変えていいわけではありません。

当然ですが、Sが1パラメータで、supがその1パラメータに関するものならば、sup Sは定数となり、どのようなinfをとっても値は変えないので、sup S=inf(sup S)とはなります。

お礼

早々にありがとうございました．
すごく分かりやすい丁寧な説明で，分からない箇所がその通りに解釈すれば理解可能でした．
また，機会があればどうぞよろしくお願いいたします．