sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って証明

質問

実数Rにおいて、sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って示せ。
という問題が出ました。
以下が私の考えた証明です。

任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから、
０は{-1/x:x∈（0,∞）}の上界の1つである。
ｙ＜０とすると、Rの稠密性より、
ｙ＜ｚ＜０となるｚ∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。
従ってｙは（0，1）の上界ではない。
以上から、０が最小上界である。

大体はいいらしいのですが、
＞ｚ∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する
がちょっと問題があるみたいです。
Rの稠密性を使っても、{-1/x:x∈（0,∞）}のように、限定した集合の中にｚが入ることは分からない、というのが問題みたいです。
ここが問題だということは理解できたのですが、それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。
回答お願いします。

回答No.4

hatake333 · ベストアンサー

補足
　この質問の前のhatake333に対する「この回答への補足」に対するコメントです．
>(1)の、a＜0を示すことができません。自分で図を書いて、なんとなくはわかってはいるのですが、示すとなると・・何かヒントはないでしょうか？

現在の解答も
>任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから、
となっています．
任意に a ∈ {-1/x | x ∈ (0,∞)} をとったら，a を書き直してください．つまり，
　　a = -1/x となる，x ∈ (0,∞) が存在する．
ここで， x ∈ (0,∞) より，x > 0 ですので，
　　a = -1/x < 0
となって，
　　a < 0
が示されるわけです．

>(2)について，…(途中略)…εがでてきて、頭がこんがらがっている状態です。この証明もなんだかよくわからなくなってきたのですが・・

　それは私のせいです，すみません．上限の定義が普通の形と違うのでしょう．
○私が前回使用した上限の定義
mが集合Eの上限
　(1)∀x∈E　⇒　x≦m
　(2)∀ε> 0 ,∃x∈E s.t. m -ε< x
○一般的？な上限の定義
mが集合Eの上限
　(1)∀x∈E　⇒　x≦m
　(2)∀m'∈E に対してm' < m ならば，∃x∈E s.t. m' < x

どちらも意味は同じですが，分かりにくかったかもしれません．
ご自分が学習された上限の定義を使って証明してください．

お礼

何度も回答してくださって、本当にありがとうございました。
わかりやすく説明していただいたおかげで、この辺の勉強は結構理解できました！
本当にありがとうございました（＾∀＾♪

回答No.3

hatake333

稠密性を使わなければ良い．

任意に
　y ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
をとると，
　y = -1/x を満たす，x ∈ (0 , ∞) が存在する．
ここで，上のxに対して， (x + 1) ∈ (0 , ∞) であるから，
　-1/(x + 1) ∈ {-1/x | x ∈ (0 , ∞)}
であり，z = -1/(x + 1) とすれば，
　y = -1/x < -1/(x + 1) = z < 0
　∴ y < z < 0
y は任意なので，0が上限である．

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

QNo.4378717 はなんで放置なんだ？

そもそも「Rの稠密性」ってのが謎．
「稠密」の定義は？

>{-1/x:x∈（0,∞）}のように、限定した集合
え？限定って何？
この集合は0未満の全実数の集合でしょう？

お礼

前回に引き続き回答ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。
「限定した集合の中にｚが入ること」を述べればよいだけ。

お礼

回答ありがとうございました。