sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って証明

質問

R（実数全体）においてsup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って示せ。
という問題がでました。

以下が私が考える証明です。

任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから、０は{-1/x:x∈（0,∞）}の上界の一つである。
x＜０とすると、Rの稠密性より、
x＜z＜0となるz{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。
従って、xは(0,1)の上界ではない。
以上から、０が最小上界である。

というのが私の証明です。

まずこの証明の流れが正しいかが心配です。
あと気になっていることが２点あるのですが、まず、{-1/x:x∈（0,∞）}は(-1,0)の範囲にあるということをこの証明の中で述べたほうがよいかということです。
２点目は、この問題はもとからxを使っているので、証明の中の３行目で、『x＜０とすると』のxは使ってもよいかということです。駄目な場合は、どの文字が一番適しているかを教えてほしいです。

カイトウよろしくお願いします。

回答No.4

koko_u_ · ベストアンサー

>Rの稠密性は、この証明の前の段階で証明済みなのですが
そんなコトわかるはずもなく。。。

>それでも何か必要なのでしょうか？
牛刀を用いる類の議論になっていることくらいですね。

回答No.3

hatake333

まずは，学習した上限の定義を書いたほうがよいでしょう．
回答は次の定義に従って書きます．
mが集合Eの上限
　(1)∀x∈E　⇒　x≦m
　(2)∀ε> 0 ,∃x∈E s.t. m -ε< x

(1)と(2)の両方を満たせばよいのですが，
(1)についての証明は，
>「任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから」
と省略されています．任意にaを取り出したならば，次にa＜０であることを示してください．

(2)についての証明は，
>「x＜０とすると、Rの稠密性より、x＜z＜0となるz{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。」
x=0-ε< 0 を取った後，「Rの稠密性より」の一言で終えています．
稠密性はもっと後で定義するのでは？そもそも0が与えられた集合の要素ではないので使えませんよね．
ですから，∀ε> 0をとって，y = 0 -ε< 0とした後，
-ε< -1/x を満たすxを（0,∞）の中から選んでください．
ヒントは，εを0<ε≦1とε>1 の場合に分けて選ぶことです．
ε>1のときは，x = 2 ∈(0,∞) をとればいつでも-ε< -1/x がいえます．
0<ε≦1のときは，-ε< -1/x 満たす x∈(0,∞) をεで表してください．
工夫の見せ所です．

補足

(1)の、a＜0を示すことができません。自分で図を書いて、なんとなくはわかってはいるのですが、示すとなると・・何かヒントはないでしょうか？

(2)について、
Rの稠密性は、定義はされてはいないのですが、証明で定義されたとして使っていいことになっているんです。説明が足りなくてすみません。
今の自分の力とヒントでできる証明は以下です。
∀ε＞０に対して、ｙ＝０－ε＜０とすると、Rの稠密性より、
０＜ε≦１のとき、
ｘ＝1/εとすると、１/ｘ≦１より、
ｙ＜ｚ＜０となるz∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。
ε>1のとき、
-ε< -1/xだから、
ｙ＜ｚ＜０となるz∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。

εがでてきて、頭がこんがらがっている状態です。この証明もなんだかよくわからなくなってきたのですが・・
何度もすみませんが回答お願いします。

回答No.2

koko_u_

>x＜０とすると、Rの稠密性より、

「Rの稠密性」という表現そのものが間違っています。

>x＜z＜0となるz{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。

定義に従って証明せよ、というのであれば、まさにそのような z が存在することを示さなければ何にもなりません。

補足

Rの稠密性は、この証明の前の段階で証明済みなのですが、それでも何か必要なのでしょうか？

何度もお手数おかけしてすみません。

回答No.1

zabric86cx

どこまで教えたらよいのか・・・？？
因みに、学年とお年はおいくつでしょう？？
あと、これは、どこからの問題ですか？？

補足

わたしは大学1年、19歳です。
この問題は、「解析学入門」白岩謙一著　学術図書・・を参考にして出された問題と思われます。
どこの問題かは、はっきりとは分からないのが正直なところです。