sup?inf?よくわかりません・・・

質問

質問なのですが、数列{An}の上限、下限を数列のなす集合{An}の上限、下限で定義しsup_nAn,inf_nAnとします。
このとき
sup_n(An+Bn)≦sup_nAn+sup_nBn
これが成立することはどのように証明すればいいのかさっぱり分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ん～, 最後に a ≦ α+β を言うところがあやしいなぁ.
ここは a が An+Bn の上限 = 最小上界であるという条件を使っています (最小上界だから, 任意の上界よりも大きくないという議論). だから, 「a は An+Bn の上限 = 最小上界である」ということを明記しておいた方がよいです. ちなみに a ≧ An+Bn という式は使ってないので書く必要はありません.

回答No.3

take008

まず定義より
ａ＝supＡn ⇔ ∀ｎ(ａ≧Ａn)…(1) かつ ∀ｘ[∀ｎ(ｘ≧Ａn)⇒ａ≦ｘ]…(2)
ｂ＝supＢn ⇔ ∀ｎ(ｂ≧Ｂn)…(3) かつ ∀ｙ[∀ｎ(ｙ≧Ｂn)⇒ｂ≦ｙ]…(4)
ｃ＝sup(Ａn＋Ｂn) ⇔ ∀ｎ(ｃ≧Ａn＋Ｂn)…(5) かつ ∀ｚ[∀ｎ(ｚ≧Ａn＋Ｂn)⇒ｃ≦ｚ]…(6)
示したいことは，ｃ≦ａ＋ｂ
では何を使うか？　(6)で ｚ＝ａ＋ｂ としたものでしょう。
そうすると，∀ｎ(ａ＋ｂ≧Ａn＋Ｂn) になっているか？　(1)と(3)を使ってできそうだ。
というふうにゴールから逆に考えて，改めて(1)と(3)からスタートした解答に仕上げます。

回答No.1

Tacosan

上限が最小上界であることを使えばほとんど一瞬.

補足

sup_m(An+Bn)=aとおく。aは｛An+Bn｝の上限ならば、a≧An+Bn。
次にsup_nAn=α,sup_nBn=βとおけば、先ほどと同様にα≧An,β≧Bn。つまり辺辺を加えればα+β≧An+Bn。
以上からa≦α+β　q.e.d.
こんな感じでしょうか！？