supとinf

質問

解析演習という本に以下の説明がありました。

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u_n = sup{a_m; m>=n},
v_n = inf{a_m; m>=n}

実数列u_nは下に有界な広義単調減少列
実数列v_nは上に有界な広義単調増加列
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supというのは「上限」の記号なのに、「下に有界」という説明は正しいのでしょうか？

また、「下に有界」でありながら「単調減少列」というのは成り立つのでしょうか？　減少度合いが少しずつ減って行き、ある値より下には下がらないということなのでしょうか?

回答No.2

noname#152421 · ベストアンサー

p<qなる任意の自然数p、qに対して、

{a_m; m>=p}⊃{a_m; m>=q}

となります。実際、a_(p+1),a_(p+2),・・・,a_(q-1)が余分に左辺の集合の中に属します。

これら2つの集合のsupを取ると、

sup{a_m; m>=p}>=sup{a_m; m>=q}

となります。つまり、u_nについての主張が言えました。
ここまでは、(a_m)が何であっても成立します。

さて、(a_m)がマイナス無限大に発散するような数列、たとえば

a_m:=-m

であれば、u_mは下に有界ではなくなります。
つまり、有界かどうかは(a_m)に関する条件が他に何か無いと判断できません。

(a_m)が収束しなくても有界でさえあれば、(u_m)は単調減少かつ有界になるので収束します。

お礼

なるほどです。詳しい回答ありがとうございました。

夜遅くにも関わらず回答いただき感謝です。

回答No.3

hugen

v1≦v2≦v3≦・・・≦vn≦un≦・・・≦u3≦u2≦u1
[v1,u1]⊃[v2,u2]⊃[v3,u3]⊃・・・⊃[vn,un]　　ということ.

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

ItachiMasamune

a_mが何かわからないので、下に有界という説明がただしいかどうかは分かりません。

二つ目の質問
数列c_n=1/n(n≧1)は下に有界で単調減少です。

お礼

夜遅くにも早速の回答ありがとうございます。