方程式、不等式

質問

（問題）
(1)x^2-3|x-2|-4=0
答え　-5、2
(2)2x+7>x+5
　x^2+6x-8≦0
答え　-2<x≦-3+√17

(1)は、| |を外して、展開してみましたが、正解の答えと一致しませんでした。正しい解き方を教えて下さい。
(2)は、2x+7>x+5の答えが-2<xと出せ、解答の５択の内、該当する答えが１つだけだったので、たまたま正解しました。x^2+6x-8≦0の答えは、x=-3±√17までは
公式（x=-b±√b^2-4ac/2a)で出せたのですが、何故この答え（-2<x≦-3＋√17）になるのでしょうか？何故、-3-√17はダメなのでしょうか？

宜しくお願い致します。

回答No.4

niphredil · ベストアンサー

あぁ、打つのに時間がかかってしまって…せっかくなので投稿させて下さい（笑）

(1)
x-2に絶対値がついているので、(a)x-2≧0 (b)x-2<0 の2つに場合分けして考えます。
(a)のとき、|x-2|=x-2だから、(与式)⇔x^2-3(x-2)-4=0⇔x=1,2
しかしここでx≧2という条件に当てはまるのはx=2だけです。
(b)のとき、|x-2|=-(x-2)だから、(与式)⇔x^2+3(x-2)-4=0⇔x=2,-5
ここでx<2という条件に当てはまるのはx=-5です。（x=2はどちらにも入ってますが）
よって(a)(b)より、x=-5,2です。

(2)
2x+7>x+5を(1)、x^2+6x-8≦0を(2)とすると、この問題は(1)と(2)の両方をみたすxの範囲をきいています。
(1)をみたすxの範囲はx>-2で、(2)をみたすのは-3-√17≦x≦-3＋√17ですね。
分かりやすく言うと、
「３より大きい」かつ「１以上５以下」の数字は「３より大きく５以下」
みたいなもんです。１は答えに入りませんよね。

補足

回答ありがとうございます。投稿大歓迎ですよ♪
文字、数字、アルファベット、記号・・・入力するのが沢山あって回答される方も大変だなぁって、いつも思っていました。私も質問を入力していて半角／全角キーを押すつもりが、間違ってＥｓｃキーを押してしまい、今までの入力が水の泡！となった経験をつい最近しました（涙）なので、入力に時間がかかるお気持ちはとても分かりました。同感です！
絶対値記号のはずし方は参考書にもあるのですが、|a|のaが正の時はa≧0、aが負の時はa<0のように考えてもよろしいのでしょうか？

回答No.8

happy2bhardcore

7です。ほかの方といいましたが、同じ方でしたようで、すみません。

回答No.7

happy2bhardcore

こんばんは、もう解決済みですか？

＞公式として、「|x|=cの時は・・・」とか「|x|<cの時＞は・・・」みたいにパターンごとに全部暗記しなけれ＞ばならないものなのでしょうか？（

絶対値のはずし方が危ういということですが、難しくありません、いたって単純です。
【絶対値の中身が0以下ならばマイナスをつけてはずし、正ならそのままはずす】です。

(1)x^2-3|x-2|-4=0

(解)まず絶対値だけを考えましょう。

ｌｘ-2ｌはｘ＝2の時に0ですね？それ以下では０以下で

すので、マイナスを付けてはずすことになり、それ以上

では0以上になりますからそのままはずれます。

つまり、ｌｘ-2ｌ＝
-(ｘ-2)・・・・[ｘ≦2のとき]
(ｘ-2)・・・・[ｘ≧2のとき]

つまり(1)は
(ア)x^2-3(x-2)-4=0・・・・[ｘ≧2のとき]
(イ)x^2-3{-(ｘ-2)}-4=0・・・[ｘ≦2のとき]
になります。

(ア)を解くと、ｘ＝1、2と出ますがｘ≧2の下ですので、ｘ＝1は不適です。∴ｘ＝2

(イ)を解くと、ｘ＝-5、2になります。このときはｘ≦2ですので、両方とも適します。

以上(ア)(イ)よりｘ＝-5,2・・・・(答)

★場合わけをするにあたって、等号どちらかに入れてもかまいませんし、両方入れてもかまいません。

(2)も分からなければ言ってください。

ほかの方にも絶対値の問題を答えていますので、よかったら参考にしてください。(同じ事しか言ってませんが)
問題も出題しているので、暇だったら一緒に解いてみてください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1870935

お礼

はい！同じ者です♪
只今、数学を勉強中（復習中）ですが、絶対値は問題が変わると手が固まります。でも、私の数学苦手度は“かなり”強力なので、手が固まるのは絶対値だけではないんですけど・・・。
これからも、ご指導の程、宜しくお願い致します。

回答No.6

niphredil

No.4です。
>|a|のaが正の時はa≧0、aが負の時はa<0のように考えてもよろしいのでしょうか？
ん、んんん？？（笑）ちょっとよく意味が分からないのですが…
絶対値のはずし方は最初は難しそうですが、慣れると何も考えずにやってしまうので、改めて人に説明するとなると何だかうまく説明できないことに気づきました^^;
適当に検索してみたので参考URLを見てみて下さい。
数IＡの基本は早いうちにマスターしておかないと後々苦労するので、頑張って克服して下さいね。回答になってなくてごめんなさい。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-6/math1-6-1.html

お礼

アドバイスありがとうございます。
参考ＵＲＬも添えていただき、感謝しております。
先ほど少しのぞいてみましたが、私の苦手なグラフが・・・。でも後で、ゆっくり確認してみますね！
前回の質問の件は、すみません。自分でも入力していて「何が聞きたいのか（確認したかったのか）、意味がわからなく」なってきていました。絶対値がわかる方なら意味がわかる質問かな？と思い、送信してみたのです。今は皆様からの回答を参考に徐々に理解しつつあるといったところでしょうか。niphredilさんのようにいつの日か、考えなくても解けるようになりたいです。
またご指導の程、宜しくお願い致します。

回答No.5

lakefuji

例えば　|x|　とするとxが正であれ負であれ|x|は常に正です。これは、絶対値は数直線上の原点からの距離を表しているからです。
　ですから|x-1|-3=0　の場合、絶対値をはずすためにはx-1が正か負か、（正の時はそのまま数直線上の距離になり、負のときは|　|に　＊-1をして符号を逆転させ正にします。）が問題のわけですから
x-1が正になるか、負になるかのポイントで場合わけをして、

　x-1≧0　になるとき
　x≧1

よって　x≧1の時は ・・・(ⅰ)
　（x-1）-3=0
x=4　　・・・(1)　　

x-1≦0の時　・・・(ⅱ)
つまりx≦1の時は　　
　-(x-1)-3=0
　よって　x=-4　・・・(2)
　(1),(2)はそれぞれ（ⅰ）,（ⅱ）の条件のなかにあります。(ⅰ）のx=4はx≧1のなかにありますし、もう一方も同様にです。この場合わけのおかげでxを求めることができたので、そのxの範囲を解が満たしているかチェックする必要が出てきます。
　絶対値のはずしかたは、y=x-1のグラフをかいて、この場合は、y=x-1のグラフとx軸の交点が場合わけポイントになるという方法でもできます。この方法は、| |の中が二次関数のときに真価を発揮します。パソコン上では、グラフを使って説明できないので残念です。

補足

んん・・・。複雑ですね。
数学苦手の私の最大の苦手が「図形＆グラフ」です。
イメージが難しいです。

回答No.3

ren96

どうですか？てかすでに回答が・・・まぁいいか（笑）

次ですが、-2<x　はいいんですが、打ちミスかもしれませんが、x^2+6x-8≦0　の正確の答えは

-3-√17≦x≦-3+√17

ですよ？そして前に求めた、-2<x　と合体させるのです。
√は分かりにくいかもしれませんが、マイナスです-3からさらにマイナスの数は-2より大きいはずありませんよね？ですから、解は　-2<x≦-3＋√17　となるのです。

どうです？分かりましたか？＾＾

補足

どうですか？→どうにもならないです。という事もないです（笑）少しずつ理解し始めました♪
いきなり正解で考えたから、ヘンな答えが出てきたのですね。
x^2+6x-8≦0の正しい答えが解りました。ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

ren96

とりあえず！！

場合分けは知っていますか？
絶対値の場合、マイナスも考慮しなくてはなりません。
ですから

x-2の場合
2-xの場合

と二個分計算しなくてはいけないんです。＾＾

今回はxの範囲の条件はないんですか？
なら三つの解が出るはずですよ。

補足

私には、この「場合分け」というのがクセモノで・・・。解りにくいです。公式として、「|x|=cの時は・・・」とか「|x|<cの時は・・・」みたいにパターンごとに全部暗記しなければならないものなのでしょうか？（参考書にはそんな雰囲気で書いてはあるのですが、見ても意味が解らないので覚えられない状況です）絶対値記号のはずし方がきちんと理解できていれば、計算できるハズなのですが。

回答No.1

nicollet4

（１）はx＝１、２だと思うのですが…。fukurou-05さんの解答は何になりましたか？

（２）はx=-3±√17まで出されたのですよね？問題の範囲の条件が-2<xな為、x=-3-√17だと-2より小さくなってしまいます。それだと条件に合いません。（√17はおよそ4なので-3-4で-7になり-2より小さいです）
一方x=3-√17は-2より大きいので条件に一致します。

その為-2<x≦-3＋√17という解答になるんだと思います。

お礼

そうですね。（２）の問題の√17は、およそ4になると考えれば、計算も解り易いですね。
アドバイスありがとうございます！