2次方程式の問題です

質問

2度目の質問失礼いたします・・・。

a,bを有理数とする。2次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1+√2であるとき、a,bの値を求めよ。

と、いう問題なのですが色々やったのですが解けませんでした。
1つの解が1+√2だということなので、xに代入して

(1+√2)^2+(1+√2)a+b=0

としてみたのですが、展開をしますと全くできないですし、
＝０のときの公式？(x=-b/2x)のようにやってみますと

(1+√2)=-a/2(1+√2)
a=-6-4√2

となりました。でもこれだとおかしいような気がするのですが・・・。
bの方は全く求められませんでした；

どなたかアドバイス、解き方等教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

cigue · ベストアンサー

ポイントはa,bが有理数であることです。
二次方程式の一般解を書いてみてください。

そのときにルートがつく部分があります。
その部分はルートがつく可能性がありますが、それ以外の部分はa,b共に有理数なのでルートが付く事はありません。
すなわち、1＋√2の√2はここから来ています。

と言う事は、√の前の符号がマイナスのものも解ですね。

二つの解が分かれば、後は適当に計算すれば答えにたどり着くと思います。

お礼

なるほど。
±√になりますね。
だから+と-の場合があるんですね。

1+√2のときと1-√2のときの解を連立方程式をして解くことが出来ました。
アドバイスありがとうございました。

回答No.6

shenyi401

完全平方を逆算してみましょう。
ｘ＝1±√2　となるはずですから，1を移項して
ｘ-1＝±√2　これの左辺を(　)^2の形にすると
(ｘ-1)^2＝2　左辺を展開して，2を移項すると
ｘ^2-2ｘ+1-2＝0　まとめると
ｘ^2-2ｘ-1＝0　以上です

お礼

おお、すごいですね！
簡単に解けました。驚きです。
こんなやり方があったのですね。
無事解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.5

debut

Ａ，Ｂが有理数で、Ａ＋Ｂ√Ｃ＝０が成り立つときは
Ａ＝０，Ｂ＝０になります。

式、(1+√2)^2+(1+√2)a+b=0　を展開してから
√２のつくものとつかないものにわけて
（・・・・）＋（－－－）√２＝０
の形に整理します。a,bが有理数なので、上に書いたことから
（・・・・）＝０と（－－－）＝０が成り立つので、
これらを連立すればa,bが求められます。

お礼

a,bが有理数でa+b√c=0のときaもbも0になるのですか！
知りませんでした。
展開して2つの式を連立して無事解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.4

info22

>(1+√2)^2+(1+√2)a+b=0
3+2√2+(1+√2)a+b=0
(3+a+b)+(2+a)√2=0
a,bが有理数、√2か無理数なので
それぞれの係数が左辺と右辺で等しいですから
(3+a+b)=0
(2+a)=0
の2つの式が成り立ちます。
この２つの式をa,bの連立方程式として解けばa,bが決定できます。
つまり、
a=-2,b=-1

これを元の方程式に代入して

検算）
x^2 -2x-1=0
x=1±√2
が得られます。

お礼

3+a+bも2+aも0になるのですか。
2つの式を出して連立方程式をしてみたら解くことができました。
検算のことまで書いていただき、ありがとうございました。

回答No.3

saaya_holic

解の公式の｛-b±√(b^2-4ac)｝/(2a)の±√～の部分の符号が逆のものと連立させる。

お礼

単純に符号が逆のものがもうひとつの解だったんですね。
気づきませんでした；
連立して解くことができました！
ありがとうございました。

回答No.1

mars-r

解の公式に代入して解く

お礼

代入して色々考えたら解けました！
単純に代入すればよかったのですね・・・；
ありがとうございました。