２次方程式の解の符号

質問

2次方程式x^2+2(a-3)x-a+5=0が、次のような2つの解をもつように、実数aの値の範囲を定めよ。
(1)2つの解(重解を含む)がともに正

で、
x^2(a-3)x-a+5=0・・・(1)
α+β=-2(a-3),α+β=-a+5・・・(2)
で、
D/4=(a-3)^2+5≧0
となるのですが、解の公式ってD/4=b^2-acじゃないですか。(a-3)が^2されているので(1)の式の(a-3)が解の公式のbになる。でも、そうするとD/4=(a-3)-x^2・(-a+5)で答えと一致しません。
何が違うのでしょうか。教えて下さい(>_<)

回答No.3

eco1900 · ベストアンサー

更に疑問が生じたようなので、その部分について回答しておきますよ^^。

まず、2次方程式を解くときに、すぐに「解の公式」を使おうとしているのでしょうか？

2次方程式を解くときは、まず基本的に次のようにして考えてください。

・2次方程式の中に1次の項（例えば・・2ｘ、－3ｘのように二乗ではない文字式の部分のこと）がない
→中学1年生のように、文字を含む項は「左辺」に、数字のみ（定数項）は「右辺」に移項してから解きます。

・一般的な形の2次方程式（つまり、ax^2+bx+c=0の形となるもの）の場合は、
→「～＝０」形に整理して、左辺の「～」の部分を因数分解してから解きます。

・上の手段で「～＝０」にまでしたものの、「左辺」が因数分解できない場合は、
→【解の公式】と使って解きます。

＊そこで、この【解の公式】ですが・・・基本的には、「x={－b±√（b^2－４ac）｝/2a」ですね。
この時、bの部分が偶数（2で割り切れるなら→実際に割ってみてその時の商を、b' とすると
・・・【解の公式】の簡易形として、「x={－b'±√（b'^2－ac）｝/a」の方を使って解きます。

だから、今回の問題では、元々【解の公式】の中の一部分D（←これは判別式といいます）だけを、抜き出して解答する際に利用することになりますから・・・理屈は同じですよ。

bの部分が、偶数（２で割り切れるなら、実際に割ってその商を b’とすると・・・
→判別式 D/4=b’^2－ac　が使えます。
bの部分が、奇数（２で割り切れないなら）、普通に・・・
→判別式 D＝b^2－４ac　を使います。

お礼

なるほど理屈が分かりました。有り難う御座いました。

回答No.2

eco1900

まず（１）の式は・・・
「x^2＋2(a－3)x－a＋5=0」ではありませんか^^A？

あと、質問の本質的な考え方としては・・・
与えられた「2次方程式の解がともに正」ということなので、次の条件がそろえば十分です。
（あ）判別式D≧0（今回は重解も含むので＝も付きます）
（い）2つの解α、βとして→和α＋β＞0　かつ　積αβ＞0

（あ）（い）を解いて、それらの共通範囲が答えとなりますよ^^。

また、質問内容の疑問についてですが・・・・
2次方程式「x^2＋2(a－3)x－a＋5=0」
（＊2次方程式の一般形の「ax^2＋bx＋c=0」と比べると）
今回のこの2次方程式は、
aに相当する部分は「1」
bに相当する部分は「2(a－3)」
cに相当する部分は「－a＋5」・・・・となります。

bに相当する部分が「2(a－3)」と偶数（or２で割り切れるため）なので、判別式も簡易形のD/4を使ったのですね。

それなら、D/4＝(a－3)^2－1・(－a＋5)　となりますよ。
2次方程式の一般形に相当する部分を見間違えているような気がします。

がんばって^^v。

お礼

有り難う御座いました(^ー^)
しかし、解答の中に又、疑問が有ります(-.-;)『bに相当する部分が「2(a－3)」と偶数（or２で割り切れるため）なので、判別式も簡易形のD/4を使ったのですね。』の偶数なので、と言うことは奇数の場合はD/4を使わず何の公式で解くのですか(ToT)

回答No.1

sanori

こんにちは。

あちこちタイプミスがあるようで、どれが正しいのかわからないですが、仮に
ｘ^2　＋　２（ａ－３）ｘ　－　ａ　＋　５　＝　０
が正しいとすると、
α＋β　＝　－２（ａ－３）
αβ　＝　－　ａ　＋　５
Ｄ　＝　４（ａ－３）^2　－　４（－ａ＋５）
Ｄ／４　＝　（ａ－３）^2　－　（－ａ＋５）

＞＞＞そうするとD/4=(a-3)-x^2・(-a+5)で答えと一致しません。

判別式というのは解の公式（ｘはなんですか）の一部ですから、解の公式の中に　ｘ　があったら、なんじゃそりゃ　ですね。

お礼

解答、有り難う御座いました。また、疑問が有ります。
(3)・・・a≦1,4≦a
(4)・・・a<3
(5)・・・a<5
で、(3),(4),(5)より,求めるaの値の範囲は、a≦1の求め方が分かりません。図では無く計算での出し方を教えて下さい。