方程式「a×aバー＝２」の解き方（aバーは共役複素数）

質問

線形代数学のユニタリ行列で出てくるんですけど、方程式a×aバー＝２を解いたらa^2=2でa=±√２となります。でも答えはa=-√２となっています。共役複素数の入った方程式の一般的な解法（考え方）を教えてください。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

極形式云々以前に・・・
問題に何らかの仮定があるはず．
それを落としているのでしょう．

>方程式a×aバー＝２を解いたらa^2=2でa=±√２

という時点でおかしいです
もともと「a×aバー＝２」なんですから
|a|（aの絶対値）が√２というだけで
どこにもaが実数なんて書いてないですので
方程式を解くという意味では
No.1さんが正解．
言葉でいえば
「長さが√２の任意の複素数が解」

e^(iθ)=cos θ+ i sin θというのはご存知ですか？
No.1さんの解は行間なんかないほど詳細です
省略されているのは
e^(iθ)e^(-iθ)
=(cos θ+ i sin θ)(cos θ- i sin θ)
=cos^2 θ+ sin^2 θ
=1
ということだけ

お礼

回答ありがとうございました。よく考えるとそうですよね。

回答No.3

tatsumi01

「a×aバー＝２ → a^2=2」のところが間違いです。
a=b+ci (b, c は実数）とすると、aバー=b-ci
a×aバー=2 → b^2+c~2=2 ですから、(b, c) は半径√2 の円周上にある全ての点の座標が解です。これが No. 1 の方の一般解です。
a=√2 も a=-√2 も解ですが、(1+i) も (1-i) も解ですし、それ以外にも無数の解があります。

お礼

ありがとうございました。

補足

一般的な解法としてはオイラーの公式で解くということですか？
バー入りの方程式の解法を教えてください。
無数に解が存在するということですか？

回答No.1

yumisamisiidesu

a-:=Re(a)-i*Im(a)
a＝re^(iθ)とすると
a-＝re^(-iθ)
このとき
a*a-=r^2
∴r=√2 θ:任意
a=√2e^(iθ) が一汎解

お礼

回答ありがとうございました。

補足

行間を詳しく教えてください。これは、極形式ですか？
解答にはa=-√2となっています。お願いします。