共役の複素数の性質

質問

ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0が虚数αを解に持つ時、
共役の複素数の解も持つことを示せ。
という問題で、共役の複素数の性質よりaα^3＋bα^2＋cα＋d(全部バー)＝0(バー)⇔aα^3＋bα^2＋cα＋d(αのとこだけバー)＝0
になってました、同値変形がいまいちわかりません、どうしてバーが消えるのかなど・・・・
よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

zのバーをz~と表記することにします。

x~=x (x:実数)・・・◇
(α~)~=α
(α±β)~=α~±β~・・・☆
(αβ)~=α~β~・・・◎

などが成立します。(α=x+iyなどとおけば、証明可)

したがって、a,b,c,dが実数ならば、
aα^3＋bα^2＋cα＋d＝0
の両辺の共役複素数をとると
(aα^3+bα^2+cα+d)~=0~

◇とか☆とか◎を繰り返し使うと
(aα^3)~+(bα^2)~+(cα)~+(d~)=0
(a~)(α~)^3+(b~)(α~)^2+(c~)(α~)+(d~)=0
a(α~)^3+b(α~)^2+c(α~)+d=0
のようになります。

同様に
a(α~)^3+b(α~)^2+c(α~)+d=0
の共役をとると、(α~)~=αより、
aα^3＋bα^2＋cα＋d＝0
が導けます。

という事でいいのでしょうか？

回答No.2

pascal3141

左辺をｆ（ｘ）としておくと、ｆ（ｘ）＝０の複素数解がｘ＝αということですね。（ただし、係数のa,b,c,dは実数）ここで、ｆ（α）＝０なので、全体にバーを付けても等式はなりたちます。後は、各係数が実数なのでバーがつくところは、α、α^2、α^3の所だけです。（iの無いところは、変化ないので）α^2バー＝αバー^2等なので（複素数の性質）、αの所だけにバーがつくことに成ります。この議論は、係数が実数の時だけです。複素数係数なら、係数にもバーがつきます。

お礼

色々ありがとうございました。