線形代数、特性根、複素数

質問

線形代数の行列の特性根に関して次の行列Ａの特性根がどんな複素数になるか分かりません。
(1)Ａ：直交行列
(2)Ａ^2＝ＡとなるＡ
(3)Ａ^k＝０となるＡ（∃k＞1）
この３問なんですが、(1)は絶対値が１となるの複素数、(2)は０または１になりそうなことは分かるのですがどうしてそうなるかの証明が分かりません。(3)はどんな複素数になるかも証明も分かりません。分かる方いましたらよろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

x と y の内積を (x, y) = x^H y と書くことにします. x^H は x の共役転置.
A がユニタリなら A^H A = I (単位行列) なので
(Ax, Ax) = x^H A^H A x = x^H x = (x, x).
ここで x として Ax = λx を満たす x をとれば終了.
あと, (2) と (3) は実は同じ問題で, 同じ方法で示せます＞#2. もっといえば「固有値は最小多項式の零点」.

回答No.2

echoes_x86

こんばんは．

最初の二つは割と簡単に証明できますよ．
以下，特性根を固有値と言及します．
[1]
l_j を A の j 番目の固有値とし，対応する固有ベクタを z_j とする．
このとき，A の逆行列 A^(-1) に関して，以下が成立します．
A^(-1)*z_j = z_j/l_j ...(1)
同様にAの転置共役行列 A^H に関して，以下が成立します．
A^H*z_j = l_j^H*z_j ...(2)
なのですが，A^H = A^(-1) であることから，(1)=(2)です．
l_j^H = 1/l_j
Aがユニタリ(複素固有値で言及しているなら直交ではないでしょう)
なら l_j は非零ですから，l_j^H*l_j = 1 です．
したがって，l_j は単位円上にあります．

[2]
[1]と同様の l_j と z_j を考えます．
A*z_j = l_j*z_j ...(3)
この式の両辺に左から A を乗算します．
A*A*z_j = l_j*A*z_j = l_j^2*z_j ...(4)
したがって，l_j^2 は A^2 = A*A の固有値です．
ですが，定義から A^2 = A ですから，固有値もまた一致せねばなりません．
すなわち， l_j^2 - l_j = 0 です．
したがって， l_j は1か0です．

[3]はやったことが無いので一寸分からないです．

回答No.1

Tacosan

(1) は「直交行列はユニタリだから」とやると一瞬だけど, きっと反則だよなぁ. 直交変換が内積を保存することを使うのが簡単かな.
(2) と (3) は A の固有ベクトルをとって考える.

補足

内積の保存を使うのは分かるのですがどう使うかが分からないんです。