共役複素数を成分にもつ行列Aの性質について

質問

こんにちは．

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行列Aの成分をa(ij)とします．
その共役複素数a-(ij)を成分とする行列をA-とします．

すると，
Aは，実対称行列なので，A-＝Aが成立し，そして，
Aの転置行列，すなわち，ｔ(A)＝Aとのことです．

実対称行列とはどういう意味でしょうか？
どうして，A-＝A，ｔ(A)＝A　が成立するのでしょうか？

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どうぞ，よろしくお願いいたします．

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

返答で「対称行列の固有値は実数である」ことの証明に出て来たとありました。逆ではないかなあ。
実数の範囲内で上のことを証明するのは困難で「エルミート列の固有値は実数である」ことを証明する方が容易だと思います。行列の要素が全て実数のとき（実対象行列）はその系として簡単に出てきます。

お礼

こんにちは．お返事ありがとうございます．

その証明は以下のようになっていました．
Ax=λXとします．Aは対称行列，λは固有値，Xは固有ベクトルです．
λ-をλの共役複素数，また，行列Aの成分をa(ij)とします．その共役複素数a-(ij)を成分とする行列をA-とします．すると，
Aは，実対称行列なので，A-＝Aが成立し，そして，
Aの転置行列，すなわち，ｔ(A)＝Aが成り立ち，←ここで出てきます．

AX-=λ-X-(-の記号は共役複素数)，すなわち，
t(X-) A=λ- t(X-)です．(ｔ(・)は転置行列)
そこで，
Ax=λXへ左からt(X-)を掛け，上式のt(X-) A=λ- t(X-)の右からXを掛けるると，
それぞれ，t(X-) AX＝λ t(X-)X, t(X-) AX＝λ- t(X-)Xとなり，したがって，
０＝（λマイナスλ-）(X-)X
ここで，固有値X≠0よりt(X-)X＞0だから，
λ＝λ-である．この式が成り立つのは，実数のみである．

省略せずに書きました．コメントをいただけたら幸いです．

回答No.3

Tacosan

実質的に「Hermite 行列の固有値が実数」を証明しているような気がします.

お礼

お返事ありがとうございます．

どうやら，実対称行列をHermite行列としてより一般化した証明法があるようで，おなじ定理がそのまま成り立つらしいですね．
数学とは，より一般化していく世界のようですから，対称行列の固有値も，その成分が実数だけではなくて，共役複素数からなるものでも表したいわけですね．

正直，Hermite行列にはなじみがなくてすいません．
しかし，解決の糸口が立体的に広がりました．どうもありがとうございます．

回答No.1

yumisamisiidesu

>実対称行列とはどういう意味でしょうか？
たぶん、全ての成分が実数である対称行列という意味だと思います．
実数なら、その共役な複素数は自分と同じです．
で対称行列の定義はｔ(A)＝A　が成り立つ行列です

お礼

早々ありがとうございます．そして，いつもありがとうございます．

なるほど！！わかりかけてきました．

一応，この問題は，「対称行列の固有値はすべて実数になる」という対称行列と固有値に関する性質の証明の一部に使われていたものです．