測度の性質

質問

測度の定義は次のようにするのが普通だと思います.
m:M→[0,∞]
φ∈M,A∈M⇒c(A)∈M　*c(A):Aの補集合
和集合について閉じている.
A,B：排反⇒m(A∪B)=m(A)+m(B)

これらの定義から導かれる性質で解くに重要なものを列挙して整理するとどのような性質が挙げられますか
それが書いてあるサイトでもいいので教えてください.

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

一度教科書をじっくり読まれることをお勧めします
志賀浩二さんの「ルベーク積分30講」とかは
軽く読める本です
本格的なものだったら
岩波全書の
溝畑　茂著「ルベーク積分入門」
（絶版なんですよねえ・・図書館にあるはず）とか
裳華房の数学選書の
伊藤清三 著「ルベーク積分」
なんかは易しくはないですが名著です．
＃両方とも著者がその分野の世界的権威ですしね

まず，（完全）加法族上の測度mは

>M:可算加法族とすると次を満たすmを測度と定義する.
>1.　m:M→[0,∞]
>2.　An(n∈N)：排反⇒m(∪An)=Σm(An)

のほかに

3. m(φ)=0 φは空集合

も要請します．

それと2.の条件は
左辺が存在して，右辺も存在して
それらが等しいという意味です．
＃有限確定の場合ばかりではないので
＃∞＝∞のようなケースもありますが．
これは連続の定義なんかで
lim f(x) (x -> a) = f(a)
なんていうときには
左辺の極限が存在し，右辺の値が存在し
かつそれらが等しい
という三つの条件を示しているのと
似たようなものです

ちなみに離散集合Xの冪集合をP(X)として
c: P(X) -> [0,∞]
を
c(A)=(Aの要素の数) (AはP(X)の元)
なんてすると，
cは測度（counting measureなんていいます）
になりますが，2.の条件は∞=∞の意味も
含めて成立します．

お礼

ありがとうございます.
本を読めばいいのは重々承知しておりますが手元にないのでここでの質問に頼っています.お許しください.図書館なども利用するように努めます.

wikiでもそうですが、　3. m(φ)=0 φは空集合
は2.から導けるので定理とすべきだと思います.

>左辺が存在して，右辺も存在して
それらが等しいという意味です．
＃有限確定の場合ばかりではないので
＃∞＝∞のようなケースもありますが．

普通の測度は正値(0,∞含む)なのでそれ+加法族の定義だけで存在することは分ります.問題になるのは正値以外の値も取る測度についてだと思います.

補足

すみませんでした.
3. m(φ)=0 φは空集合
はやっぱり定義に入れておいたほうがいいと思いました.
理由はある可測集合の測度が∞でない値を取る保証が定義だけではないからですね.

回答No.1

kabaokaba

とりあえず測度論の教科書
ルベーク積分の教科書の最初の方を
見ましょう
サイトでいいならwikipediaで検索すれば
多少は出てきます

あなたの定義では
測度の定義と完全加法族の定義が
ごっちゃになってます．
ちなみに
A,B：排反⇒m(A∪B)=m(A)+m(B)
これだけでは，全然測度の役目を果たしません．
有限だけじゃ駄目なんですよ

お礼

ありがとうございます.

>測度の定義と完全加法族の定義が
>ごっちゃになってます．
すみませんでした.測度の定義だけにしておきたいと思うので次のように書きなおします.

M:可算加法族とすると次を満たすmを測度と定義する.
1.　m:M→[0,∞]
2.　An(n∈N)：排反⇒m(∪An)=Σm(An)

定理
1.　m(φ)=0
他にも測度についていろいろな性質があると思いますが私はまず、可算性を考えなくていい性質を整理して、次に可算性による性質も整理したいと思ってます.

補足

今、急に思いつきましたが回答に対するお礼で
　測度の定義で正値を保証しない場合、
　An：排反⇒m(∪An)=Σm(An)
の左辺は必ず値をとることになるけど右辺は振動などの収束しない場合がありえるのでその場合問題になると思います.今は正値も定義済みなので問題ないと思います.