測度ゼロを持つ。の証明がどうしてもできません

質問

[定義]E⊂Rが測度ゼロ"measure zero"を持つとは
0<∀ε,∃{I(n)}:有限か可算の区間の集合 such that E⊂∪[n∈N]I(n) 且つ Σ[n∈N]L(I(n))<ε
但し,L(I(n))は区間I(n)の長さを表す。

が測度ゼロの定義だと思います。その上で

[問]次を示せ。
(1) もしE1,E2が測度ゼロを持つならE1∪E2が測度ゼロを持つ。
(2) もし各E(n),n=1,2,… が測度ゼロを持つなら∪[n=1..∞]E(n)も測度ゼロを持つ。

の問題で四苦八苦してます。
ご助言賜りますよう宜しくお願い致します。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

E1,E2,E3,…が測度0ならば、任意のε＞0に対して、
E1は区間の長さの和がε/2未満の区間の和集合に含まれる
E2は区間の長さの和がε/2^2未満の区間の和集合に含まれる
E3は区間の長さの和がε/2^3未満の区間の和集合に含まれる
・・・
として行けば、E1∪E2∪E3∪…は区間の長さの和が、
ε/2＋ε/2^2＋ε/2^3＋…＝ε未満の区間の和集合に含まれる。
よって、E1∪E2∪E3∪…の測度は0である。
というような方針ではどうでしょうか？
良く２つの場合はε/2を使ったり、３つの場合はε/3を使ったりしますね。
これと同じ要領でε/anでΣanが収束するようなものを考えました。

お礼

ご回答有難うございます。

これでεで抑えられますね。さすがです。参りました。m(＿ ＿)m

回答No.2

uyama33

ヒントを
１．自然数のうち奇数は何個ありますか？
２．偶数は何個ありますか。
３．それれを合わせた集合は要素が全部で何個ありますか。
どのようにして番号をつけますか？

そんなとこ

お礼

[(1)の解]
仮定から∀ε>0に対し、∃{I_1_n},{I_2_n} such that E_1⊂∪[n=1..∞]I_1_n,E_2⊂∪[n=1..n]I_2_n 且つ Σ[n=1..∞]L(I_1_n)<ε,Σ[n=1..∞]L(I_2_n)<ε
と書けるので
K_n:=I_1_n∪I_2_nと置くと
∀ε':=ε/2,∃{K_n} such that E_1∪E_2⊂∪[n=1..∞]{K_n}且つΣ[n=1..∞]L(K_n)=Σ[n=1..∞]L(In)+Σ[n=1..∞]L(J_n)<ε'+ε'=ε
従って E_1∪E_2も測度ゼロを持つ。

という示し方で大丈夫ですかね。

[(2)の解]
∪[n=1..m]E_n…(*)をmについての帰納法で示す。
m=2の時は(1)から(*)成立。
m=r-1(r>2)の時(*)成立と仮定すると
∀ε>0,∃{K_n}(K_n:=∪[m=1..r-1]I_m_n) such that ∪[n=1..r-1]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n且つΣ[n=1..∞]L(K_n)<ε
m=rの時は
∪[n=1..r]E_n=(∪[n=1..r-1]E_n)∪E_rと書け、∪[n=1..r-1]E_nとE_rとも測度ゼロを持つので夫々を(1)でのE_1とE_2と見立てると
∀ε>0に対し、∃{K_n} such that ∪[n=1..r]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n 且つ Σ[n=1..∞]L(K_n)<εと書ける。

うーん、しかし、これは有限個の和集合が測度ゼロを持つとしか言ってませんよね。
任意個は場合はどうやって証明すればいいでしょうか?

> １．自然数のうち奇数は何個ありますか？

可算個です。

>２．偶数は何個ありますか。

可算個です。

> ３．それれを合わせた集合は要素が全部で何個ありますか。

可算個です。

> どのようにして番号をつけますか？

奇数1,3,5,…,に1,2,…,m,…と番号が振られてたら,2m-1と付けます。
偶数2,4,6,…,に1,2,…,m,…と番号が振られてたら,2mと付けます。

回答No.1

koko_u_

(1)は定義から明らかです。(2)を頑張りましょう。

お礼

[(1)の解]
仮定から∀ε>0に対し、∃{I_1_n},{I_2_n} such that E_1⊂∪[n=1..∞]I_1_n,E_2⊂∪[n=1..n]I_2_n 且つ Σ[n=1..∞]L(I_1_n)<ε,Σ[n=1..∞]L(I_2_n)<ε
と書けるので
K_n:=I_1_n∪I_2_nと置くと
∀ε':=ε/2,∃{K_n} such that E_1∪E_2⊂∪[n=1..∞]{K_n}且つΣ[n=1..∞]L(K_n)=Σ[n=1..∞]L(In)+Σ[n=1..∞]L(J_n)<ε'+ε'=ε
従って E_1∪E_2も測度ゼロを持つ。

という示し方で大丈夫ですかね。

[(2)の解]
∪[n=1..m]E_n…(*)をmについての帰納法で示す。
m=2の時は(1)から(*)成立。
m=r-1(r>2)の時(*)成立と仮定すると
∀ε>0,∃{K_n}(K_n:=∪[m=1..r-1]I_m_n) such that ∪[n=1..r-1]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n且つΣ[n=1..∞]L(K_n)<ε
m=rの時は
∪[n=1..r]E_n=(∪[n=1..r-1]E_n)∪E_rと書け、∪[n=1..r-1]E_nとE_rとも測度ゼロを持つので夫々を(1)でのE_1とE_2と見立てると
∀ε>0に対し、∃{K_n} such that ∪[n=1..r]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n 且つ Σ[n=1..∞]L(K_n)<εと書ける。

うーん、しかし、これは有限個の和集合が測度ゼロを持つとしか言ってませんよね。
任意個は場合はどうやって証明すればいいでしょうか?