測度論；完備化、測度零集合について。

質問

こんにちは、測度論（確率論）を勉強しているのですが、完備化について質問させてください。
まず、ルベーグ測度を考える上でなぜσ－加法族の完備化が必要となるのか？
例えばR上のボレル集合体はRの開集合全体の加算和、加算交差などから成る集合体で極めて多様な集合を含むはずですが、それに含まれない測度零集合がRに存在して、それらを付け加えることで完備になる、という理解をしていますが、ボレル集合体に含まれない測度零集合とはどんなものでしょうか？例を挙げていただけるとありがたいです。
即ち、B(R)；R上のボレル集合体, μ;B(R)上の測度として
N* = {N⊂R　;　NはB(R)に属さず、N⊂A∈B(R) , μ(A)=0}となるN*の要素はどんなものでしょうか？
ボレル集合体ではルベーグ測度を考えるのに不十分、という理由が今ひとつ分かっていません。

回答No.3

stomachman

> {N⊂R　;　NはB(R)に属さず、N⊂A∈B(R) , μ(A)=0}

の説明ができてない、ということですかね。えーと、
　　{ 1/(n+1) | n∈自然数 }
じゃどうでしょう。

お礼

大変遅くなりました。ご回答ありがとうございます。

集合{ 1/(n+1) | n∈自然数 }は　{1/n+1} という閉集合の可算和になっているので、B(R)に属している気がするのですが、ひょっとして重大な勘違いがあるのでしょうか。

回答No.2

stomachman

たとえば、関数にあちこち不連続な段差があってもフーリエ変換の反転定理が言える、というような応用では、離散的な点から成る零集合が出てきますね。さらにf(x)=(xが有理数なら0、無理数なら1)という関数を積分するには、可算個の不連続点を考えねばなりません。というわけで、ボレル集合の拡張を考える場合には、可算集合（当然、有限集合も含む）は零集合です。
　もちろん、何が零集合かは測度によって異なるわけですが、測度が何にせよ「ある集合Xが二つの可測集合A, Bに「はさまれた」状態 A⊂X, X⊂Bにある状態を保ったまま、AとBの差集合の測度をどんどん小さくしていけるなら必ず、Xは可測集合」と言えるためには零集合が入っている必要がある。可測集合の列の極限も可測集合という、コンパクト性を保証する鍵になってるんです。

　なお、非可測集合という不思議なものがあります。これは存在は証明できるのに構成はできない。というのは、証明に選出公理が不可欠なんです。

回答No.1

stomachman

> ボレル集合体ではルベーグ測度を考えるのに不十分

　これはきっと厳密なごちゃごちゃの話ではなくて、おそらく「ボレル測度で何が不満なんだ。『ほとんど至る所(a.e.)』なんてややこしいことを言うぐらいなら、零集合なんか初めから外しておけばいいじゃん」という気持ちをおっしゃっているんだろうと推測しました。されば：

　測度空間Bに零集合を追加するには、単に零集合の族ZをBと合併させるだけじゃ駄目ですよね。B∪Zは代数ではなくなってしまう。Bを拡張した測度空間Lを作って、零集合zと他の集合x(z∈Z, x∈B)とを演算して作れるあらゆる集合もまたLに入るように拡張しなくちゃいけません。
　その結果、可測集合xをひとつ持って来ると、xに適当な零集合をくっつけたり、取っ払ったりしたものもまた可測集合であって、しかも測度は変化しない。いわば、「xと同じではないが、測度で見ればxにそっくりなものy」が作れるようになった。
　なので、「可測集合xと可測集合yは確かにx≠yではあるが、でも零集合を除けばxとyは同じ(x=y a.e.)だ。（だからx上の積分とy上の積分は同じになる）」と言える。そのおかげで、たとえばx上の関数f(x)について、ぱらぱら散らばってるへんてこな点（たとえば関数が段差になってるとことか）を無視したり、そういう点を適当な値で代用したりできて、話が簡単になる。
　結局、積分を考えるには"="は「強過ぎる」同値関係だった。"="よりも弱くて丁度エエ感じの同値関係「= a.e.」が使えるようにしたかったんだ。
　ということこそが、そもそも「測度」を考える理由じゃないですか。

お礼

とても分かり易い説明ありがとうございます。同値類の話などは改めて成っとく致しました。

ただ、ひとつ疑問なのはR上のボレル集合体σ[O]はR上の開集合全体を含む最小のσ加法族であり、
σ加法族の公理（ド・モルガンを用いて）から、σ[O]は全ての閉集合並びにそれらの可算和、加算交差からできる集合を全て含んでいると思います。それで表せないR上の集合とは（特に測度零集合）一体どんな集合なのか納得がいかなかったので質問した次第です。