外測度の定義について

質問

写真の外測度の定義について、
(4行目に)Σ[n=1→∞]|In|から成る集合とありますが
A⊂∪[n=1→∞]Inを満たすΣ[n=1→∞]|In|なので
集合の要素としてはΣ[n=1→∞]|In|だけのように感じたのですが、他にもあるのでしょうか、、

その下の注意２を見て、Σ[n=1→∞]|In|の[n=1→∞]
で[n=1→k<∞]、[n=1→∞1<∞]、[n=1→∞2<∞]みたく足す範囲を複数分ければ集合の要素もいくつかバリエーションが出てくるなとは感じたのですが、そういう事を言っているという認識で合ってますでしょうか？

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

そういう意味はありません。

集合Aが与えられた時、A⊂∪[1≦n<∞] I[n] を満たすような「全ての」{I[1], I[2], ...., } 「たち」を考え、その 各々の {I[n]} についてΣ[1≦n<∞] I[n] を計算し、それらを集めた集合の下限を取る、と言っています。

つまり、同じ事を書きますが、集合Aが与えられた時、A⊂∪[1≦n<∞] I[n] を満たすような集合列 {I[1], I[2], ... }は、一般に一つだけではないわけです。Aを「雑に」覆うような集合列もあれば、「なるべくAからはみ出ないように」覆う集合列もある。そうしたAを覆う『全ての』集合列を考え、その集合列各々に対して、Σ[1≦n<∞] I[n] を計算する、といっているのです。

お礼

早速のご回答ありがとうございます！
理解しました
また分からない点でたらご教授くださいm(_ _)m

回答No.2

tmppassenger

老婆心ながら書いておきますが、例えば実数直線 R の部分集合 Aが "compact" というのは、Aを覆う「ありとあらゆる」開被覆を考え、その任意の開被覆を取って来ても、その中からとある有限集合が取れ、その有限開集合の合併がなおも Aを覆う、ということでした。

この場合も、Aの外測度というのは、Aを覆う「ありとあらゆる」（高々可算な）（半開）区間列を考え、その区間列の測度の総和「たち」からなる集合の下限を考えるのです。