Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0は何故?

質問

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測
⇔
(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思います。

どうして
(点{r}の測度fによる像)=0
と言えるのでしょうか?

つまり,
(Q∩[0,1]全体の測度fによる像)=f(∪[b∈Q∩[0,1]]{b})=Σ[b∈Q∩[0,1]]f({b})と変形できると思いますが
これからどうしてf({b})=0が言えますでしょうか?
推測ですが
f({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])=1/(アレフ0)=0と乱暴に計算してもいいでしょうか?
(上の定義からはf({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])と書ける事すらも言えてませんが…)

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

おはようございます。簡単に説明しますが、

B⊃{b_i}（b_i は単調減少列 つまり、b_i⊃b_{i+1})
ならば

f(∩b_i)=lim f(b_i)

が成り立ちますから（このことは、ご自分で調べてください。測度論の本には必ず載っています。）

点{r}に対し、b_i＝（r-1/i，r+1/i) とすれば

f({r})＝f(∩b_i)＝lim f(b_i)＝lim 2/i＝０

となって、f({r})＝０となるのです。

お礼

> B⊃{b_i}（b_i は単調減少列 つまり、b_i⊃b_{i+1})
> ならば
> f(∩b_i)=lim f(b_i)
> が成り立ちますから（このことは、ご自分で調べてください。測度論の本には必ず
> 載っています。）
> 点{r}に対し、b_i＝（r-1/i，r+1/i) とすれば
> f({r})＝f(∩b_i)＝lim f(b_i)＝lim 2/i＝０
> となって、f({r})＝０となるのです。

有難うございます。
「(Ω,B,m)を測度空間とし,A_1,A_2,…∈Bとする時,
A_1⊃A_2⊃…且つm(A_1)<∞ならばlim[n→∞]m(A_n)=m(∩[n=1..∞]A_n) 」
という命題がありました。

ただ
「limf(b_i)＝lim 2/i」
の変形が分かりません。
f(b_i)=2/i
とどうしてこのように変形できるのでしょうか?
(何の定義?)

回答No.8

uzumakipan

こんばんは。質問者さんの挙げている本はおろか積分論の本さえ手元に無いため、記憶をたどりながら回答しますが、多分この質問にあるｆには『Ｒ上の区間の長さを測る』という前提があるのではないかと思います。

つまり、実数直線上の閉区間[a,b]に対して

f([a,b])=b-a

という、測度として必然的に求められることを前提としているか、またはそういったことと同じような事柄がこの問題の前に説明されているのではないでしょうか？もし、そうでなければ、例えばｆとして1点測度が1となるようなcounting measureとかも考えられるのです。その前提があれば1点測度が０となるのも理解できると思います。

お礼

遅くなりまして申し訳ありません。

前ページにはやはり

測度定義は
「(Ω,B)を可測空間とする時,
f:B→R∪{+∞}がΩ上の測度
⇔
(i) ∀A∈B,f(A)∈[0,+∞],f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N(m≠n),b_m,b_n∈B且つb_m∩b_n=φならばf(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

しか載ってません。

回答No.7

uzumakipan

こんばんは。私自身に思い込みが合ったのか？

確かに測度の定義は確かに

＞測度とは
＞「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測
＞⇔
＞(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
＞(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

＞の事だと思います。

ですが、ここでは具体的に ｆとしてルベーグ測度を考えているんですよね？質問者さんの読まれている本で、もう一度確認してください。

お礼

有難うございます。

>> の事だと思います。
> ですが、ここでは具体的に ｆとして
> ルベーグ測度を考えているんですよね？

いえ、まだルベーグ測度は相当後のページに紹介されてます。
ルベーグ積分超入門「森真著」

> 質問者
> さんの読まれている本で、もう一度確認してください。

今回のはp78の話しなのですがそれ以前のページにルベーグ測度の定義は載ってませんね。

回答No.6

uzumakipan

こんばんは。

＞ただ
＞「limf(b_i)＝lim 2/i」
＞の変形が分かりません。
＞f(b_i)=2/i
＞とどうしてこのように変形できるのでしょうか?
＞(何の定義?)

b_i＝（r-1/i，r+1/i)　ですから、
f(b_i)＝（r+1/i)－(r-1/i)＝2/i
です。（∵測度の定義）

ですから　lim f(b_i)＝０　となります。

お礼

有難うございます。

> f(b_i)＝（r+1/i)－(r-1/i)＝2/i
> です。（∵測度の定義）

f(b_i)＝（r+1/i)－(r-1/i)
が測度の定義ですか?

測度定義は
「(Ω,B)を可測空間とする時,
f:B→R∪{+∞}がΩ上の測度
⇔
(i) ∀A∈B,f(A)∈[0,+∞],f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N(m≠n),b_m,b_n∈B且つb_m∩b_n=φならばf(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」
だと思うのですがこれからどうして
f([r+1/i,r-1/i])＝（r+1/i)－(r-1/i)
が導けるのでしょうか?

お手数お掛けましてスイマセン。

回答No.5

ojisan7

この問題に限らず、数学の問題を考える場合には、見通しというか、ある程度アウトラインを描く必要があります。これは、私自身を戒める言葉ではありますが・・・。

ところで、Q∩[0,1]の測度が零であることを直接導くには、
１）有理数を順番に並べてみます。可算集合ですからそれは可能ですよね。
２）１番目の有理数を含む幅ε_1の閉区間をA_1とします。
３）有理数を順番に見ていって、A_1に属さない最初の有理数を含む幅ε_2の閉区間をA_2とします。ただし、A_1∩A_2=Φとなるようにε_2を選びます。
４）以下同様に、(A_1∪A_2)∩A_3=Φとなる幅ε_3の閉区間をA_3とします。
ε1,ε_2,ε_3・・・は次第に小さくなるように選びますが、その辺はご自分で工夫して下さい。
ここから先は、ご自分で考えて下さい。何度も繰り返しますが、数学では「見通しを持つ」ことが大切です。

お礼

遅くなりまして申し訳ありません。

前ページには

測度定義は
「(Ω,B)を可測空間とする時,
f:B→R∪{+∞}がΩ上の測度
⇔
(i) ∀A∈B,f(A)∈[0,+∞],f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N(m≠n),b_m,b_n∈B且つb_m∩b_n=φならばf(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

しか載ってません。

> ところで、Q∩[0,1]の測度が零であることを直接導くには、
> １）有理数を順番に並べてみます。可算集合ですからそれは可能ですよね。
> ２）１番目の有理数を含む幅ε_1の閉区間をA_1とします。
> ３）有理数を順番に見ていって、A_1に属さない最初の有理数を含む幅ε_2の閉区間
> をA_2とします。ただし、A_1∩A_2=Φとなるようにε_2を選びます。

有理数の稠密性からいって
そのようなA_nを採る事は可能なのでしょうか?
具体的にどのように採ればいいのでしょうか?

回答No.4

ojisan7

>点{r}の測度fによる像=0だから
>Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思います。

そのように導くこともできますが、測度の完全加法性と、有理
数の可算性より、Q∩[0,1]の測度が零であることを直接導くこ
ともできます。そのほうが予備知識を必要とせず、理解しやす
く確実ですよね。
質問者さんが使っている本でも直接導いているのではない
でしょうか。

お礼

> そのように導くこともできますが、測度の完全加法性と、有理
> 数の可算性より、Q∩[0,1]の測度が零であることを直接導くこ
> ともできます。そのほうが予備知識を必要とせず、理解しやす
> く確実ですよね。

完全加法性とは
「A_n∈B (n=1,2,…),A_j∩A_k=φ(j≠k)ならば
m(Σ[n=1..∞]A_n)=Σ[n=1..∞]m(A_n)」
ですよね。これからどうやって簡単に導けるのでしょうか?
すいません。ご教示ください。m(＿ ＿)m

回答No.3

uzumakipan

＃２です。

追加の説明です。＃２でf({r})＝０　となることが示すことができるから

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
なのであって、

＞(Q∩[0,1]全体の測度fによる像)=f(∪[b∈Q∩[0,1]]{b})=Σ[b∈Q∩[0,1]]f({b})と変形できると思いますが
＞これからどうしてf({b})=0が言えますでしょうか?

このことからは　f({b})＝０　となることは導けません。

お礼

この本で測度の定義は発見できませんでしたが

> 点{r}に対し、b_i＝（r-1/i，r+1/i) とすれば
> f({r})＝f(∩b_i)＝lim f(b_i)＝lim 2/i＝０
> となって、f({r})＝０となるのです。

で納得いたしました。

回答No.1

koko_u_

この場合は、単純に Lebesgue 測度のことを言っているだけだと思いますよ。

お礼

ありがとうございます。

> 点{r}に対し、b_i＝（r-1/i，r+1/i) とすれば
> f({r})＝f(∩b_i)＝lim f(b_i)＝lim 2/i＝０
> となって、f({r})＝０となるのです。

で納得いたしました。