product spaceを用いた確率過程の期待値の極限

質問

測度論的確率論にお詳しい方，以下の質問に答えていただけると幸いです．

[定義]
1. (Z,Θ): measurable space. Θはσ-algebra．
2. Z^∞=Z×Z×Z×... (Zの直積を可算無限回とった集合)
3. 以下の形をした集合Bは``finite measurable rectangle'':
　　 B=A_1×A_2×...×A_T×Z×Z×...,
　ここで，A_t∈Θ for all t=1,2,...,T. T∈N
4. Φ^T: Tを所与としたとき，全てのfinite measurable rectangleを含む集合族．
5. Φ: 全てのfinite measurable rectangleを含む集合族．
6. Ψ^T: Φ_Tの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族．
7. Ψ: Φの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族．
7. Θ^T: σ-algebra generated by Ψ^T
6. Θ^∞: σ-algebra generated by Ψ
7. μ^∞:Θ^∞→[0,1]: Θ^∞上に定義された確率測度．ただし，
　　これはΦ上で定義された確率測度をΨ上のそれへと拡張し，さらに
　　それをΘ^∞上に拡張して導出されたものとする．
8. ξ_t:Z^∞→Z:以下で定義されるmeasurable function
　　　ξ_t(z_1,z_2,...)=z_t , t∈N

[Remark]
a. 自然数の集合Nは要素として∞を含まないので，T<∞.
b. Ψ^T,Ψはalgebraである．
c. 7.の例として，transition functionを使ってマルコフ過程を定義したものがある．

[確率過程]
このとき，

Θ^1⊂Θ^2⊂Θ^3⊂...

となり，かつ，ξ_tはΘ^t-measurable functionなので，({Θ^t}_t,(Z,Θ),{ξ_t}_t)
のセットは(Z^∞,Θ^∞,μ^∞)上に定義された確率過程となる．

[質問]
ようやく質問です．

今，Zがある有界な閉区間だとして，確率変数ξ_tの期待値がうまく定義できるとします．
このとき，定義から，Mが有限であればE(ξ_M)が定義できます．

では，lim_{M→∞}E(ξ_M)についてはどうでしょうか？
自分としては，定義されないと考えています．というのも，lim_{T→∞}Ψ^Tは
補集合について閉じていないのでalgebraでなくなります．したがって，拡張定理を
使えなくなって確率測度μ^∞がそもそも定義できなくなってしまうからです．
このロジックは正しいでしょうか？

では，lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M),0<ρ<1,についてはどうでしょうか？
E(ξ_M)自体は定義されないけど，仮にE(ξ_M)が存在しても，0に収束するのだから
「lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M)は定義される」と言っても問題ない，考えていますがいかがでしょうか？

長くなってしまいましたが，お聞きしたいのはこの2点です．数学の
勉強をして少しずつ慣れてきたものの，まだ自分の結論に確信をもてる
ほどのレベルには至っておりません＾＾；宜しければ数学に強い方の
ご意見をきればと思います．どうぞよろしくお願いします．

回答No.2

rabbit_cat

＞補足について。

ε-δ論法を思い出して、limの定義をちゃんと考えれば分かるのでは。
質問文に出てくる論法は、例えば、
f'(x) = lim_{h→0} {f(x+h)-f(x)}/h
で、右辺はh=0のとき、０で割ることになって定義できないんだから、
f'(x)も定義できないはずだ、
と主張しているのと同じです。

お礼

返事が遅れてしまって大変申し訳ありません。

ご回答ありがとうございます。
要約理解することができました。どうもありがとうございます！

回答No.1

rabbit_cat

lim_{M→∞}E(ξ_M)
なら、有限のＭについて定義できれば十分です。

E( limit_{M→∞}ξ_M )
だったら別ですが。

補足

ご回答ありがとうございます．

まだ理解していなくて，補足質問させていただきたいと思います．
よろしければお答えください．

>lim_{M→∞}E(ξ_M)
>なら、有限のＭについて定義できれば十分です。

についてです．これは，「Mをいくら大きくしても必ずMよりも
大きい自然数が存在するから」という解釈でよろしいのでしょうか？

別の言い方をすれば，
lim_{M→∞}E(ξ_M)=limsupE(ξ_M)=liminfE(ξ_M)
であるからOKだと．例えば，limsupの部分を丁寧に書けば，
limsupE(ξ_M)=lim_{M→∞}sup{E(ξ_k),k≧M}
で，任意のM∈Nに対してE(ξ_k),k≧M，は定義できるから，という
解釈になるのでしょうか？

質問で長々と書きましたが，結局は初歩的な数学の質問ですね＾＾；