放物線ｙ＾２＝４ｐｘの焦点Ｆを通る弦ＡＢを直径とする円

質問

放物線ｙ＾２＝４ｐｘの焦点Ｆを通る弦ＡＢを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をＨとするとＦＨはＡＢに垂直であることをしめせ！

この問題わかりません！！どなたか教えてください！！

まず私は、ｙ＾２＝４ｐｘの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をＨ（接点）として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて（弦ＡＢの事です）ＡからＦに向かってそしてＦを超えてＢまで弦を書きました。

ここで円に対して、左右対称の真っ二つにして弦ＡＢの線を描いたのは、”弦ＡＢを直径とする”と題意に書いてあるので、弦を円の中に書いた時に、半分半分になってないと、たとえば左側の方が広くて、右側が狭いって事になってしまったら、これは直径の線ＡＢと成らないと考えました。ここまでＯＫでしょうか？！＞＿＜

さて、
問題を解き始め、まず、弦ＡＢのＡから準線に向かって一本線を引きました。そして、この垂線の足をＣとしました。　
これは曲線を学んだ時、準線からＡに向かって引く線は垂線であると学び、またＡから焦点に伸びたＡＦとＡＣは長さが等しいとも学びました。

よってＡＣ＝ＡＦ　（１）
その後、ＡＢと弦を引いた時にＢがあるので、Ｂから準線に向かって垂線を引きました、このときの垂線の足をＤとおきました。そしたら
ＢＦ＝ＢＤの関係が得られました。（２）

ここまでしかできません！！＞＿＜　
このあとどうしたらよいでしょうか？？
誰か教えてください！お願いします！

回答No.2

debut · ベストアンサー

Ｎｏ１さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、
　四角形ＡＢＤＣは台形になっていますよね。このとき、ＡＢの中点Ｍ
　を通りＡＣと平行になっている線分ＭＨの長さには、
　　　ＭＨ＝1/2(ＡＣ＋ＢＤ)　が成り立つことは中学校の中点連結定理
　でやりました。わからなければ、ＭＨとＢＣの交点をＥとでもして、
　ＭＥ＝1/2ＡＣ［△ＡＢＣで中点連結定理］
　ＨＥ＝1/2ＢＤ［△ＢＣＤで中点連結定理］とすればいいでしょう。

後半の「ＦＨはＡＢに垂直であることをしめせ」について
１．△ＡＢＨは∠ＡＨＢ＝90°[直径ＡＢに対する円周角]の直角三角形
２．∠ＢＡＨ＝∠ＢＨＤ［円の接線と、接点を通る弦とではさむ角は、そ
　　　　　　のその角内にある弧に対する円周角に等しい・・接弦定理］
３．△ＡＢＨで∠ＡＢＨ（=∠ＦＢＨ)＝90°－∠ＢＡＨ
　　△ＢＤＨで、△ＢＤＨは直角三角形だから、
　　　　　　　∠ＤＢＨ＝90°－∠ＢＨＤ＝90°－∠ＢＡＨ
４．ＢＤ＝ＢＦと３．のことなどから△ＢＤＨ≡△ＢＦＨがいえるので
　　∠ＢＤＨ＝∠ＢＦＨ＝90°したがって・・・
という順でやっていけばいいでしょう。

全体を図形で考えましたが、Ｆ（ｐ，０）を通る直線［ｘ＝ｍｙ＋ｐ］と
曲線ｙ^2＝４ｐｘの交点Ａ，Ｂのｙ座標をα、β（α＞β）として、座標や
線分の長さなどを計算してもＡＭ＝ＨＭが証明できます。
後半の垂直になることも、直線の直交条件ｍ・ｍ'＝－１でできます。

お礼

ありがとうございました！！台形をかいてみたら段々と辺の長さの関係がみえてきて、解くことができました！！！　返事書いてくれて、ほんとうにどうもありがとうございました！！

回答No.1

eatern27

＞これは直径の線ＡＢと成らないと考えました。ここまでＯＫでしょうか？！＞＿＜
まぁ、それまでの部分に大きな間違いはないと思います。

この問題、大抵は、Ａの座標を文字で置いたりして、強引に証明する事になるかと思いますが、

＞よってＡＣ＝ＡＦ　（１）
＞ＢＦ＝ＢＤの関係が得られました。（２）

これに気付くと、幾何的に証明する事ができます。かなりいい所に気付きましたね。あと一歩です。

ヒントとしては、

・ＡＢの中点をＭとすると、このＭは円の中心である
・Ｍから準線に下ろした垂線の足をＨとする。
・円が準線に接する事は、ＭＨが円の半径(直径の半分)に一致すること、つまり、ＭＨ＝ＡＢ÷２と同値
・(1)式と(2)式を使う

といった所でしょうか。

お礼

返事書いてくれてありがとうございました！！！
”円が準線に接する事は、ＭＨが円の半径(直径の半分)に一致すること”って書いてありましたので、計算を進めていったら、最後言われたとおりの関係になりました！！ありがとうございました！！＞＿＜