【問題】楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の1つの焦点Fを通り,互

質問

【問題】楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の1つの焦点Fを通り,互いに直交する2つの弦AB,CDを引けば,1/AB+1/CDは一定であることを示せ。

全然わかりません＾＾；
どなたかよろしくおねがいします('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

ちょっと図を描いてみれば、わかることですよ。>_<
傾きが mということは、(yの変化量)/(xの変化量)= mということですよね。
すると、(yの変化量)= m* (xの変化量)ですね。
あとは、三平方の定理を使えば・・・
このことは、傾き mの直線であれば言えることで、ちょくちょく出てくる計算です。

少し複雑な計算が続きますが、もう一つだけ追加で。
・傾きを mや k、-1/kなどと表したとき、y軸に平行な直線を表すことができません。
その場合だけ、別に計算しないといけません。
・その 2直線は x= √(a^2- b^2)と x軸(y= 0)です。それぞれの弦の長さは、さほど大した計算にはならないはずです。

お礼

ありがとうございます！
頑張ってみます（・∀・）

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。＾＾

地道に計算する方針を書いておきます。
以前の問題と同じで、置くものは大胆に置いてしまいましょう。

・とりあえず、a＞ b＞ 0として考えましょう。焦点の座標は、±√(a^2- b^2)となります。
・焦点の一つを √(a^2- b^2)とすると、この点を通る直線は y= m* { x- √(a^2- b^2) }と表すことができます。（傾きを mとして）
・まず、この直線と楕円の交点を考えます。欲しいのは、弦の長さ（交点間の線分の長さ）です。
楕円の式と直線の式を連立させると、xの 2次方程式が得られます。
そして、交点の座標をα、β（α＜β）と置くと解と係数の関係が得られます。
・傾き：mの直線において、x座標の差が β-αとなる線分の長さは、L(m)= √(1+ m^2)* (β-α)となります。（三平方の定理を用いれば、すぐにわかります。これが一つポイントです）
この式は、a, b, mで表すことができます。
・準備ができたところで、m= kと m= -1/kを考えます。（直交する 2直線に対応します）
・1/L(k)+ 1/L(-1/k)を計算すると、最後は a, bだけの式になります。

お礼

ありがとうございました（'▽'*）ﾆﾊﾟｯ♪

補足

こんばんわ。
いつもわかりやすい御回答ありがとうございます！

えっと
＞・傾き：mの直線において、x座標の差が β-αとなる線分の長さは、L(m)= √(1+ m^2)* (β-α)となります。（三平方の定理を用いれば、すぐにわかります。これが一つポイントです）

この部分ですが…
なぜ、三平方の定理でL(m)= √(1+ m^2)* (β-α)が分かるのでしょうか？？
・傾き：mの直線において、x座標の差が β-αとなる線分の長さは、
というところまでは理解できます。
そっかたあとが…ちょっとわかりません＾＾;

よろしくお願いします。

回答No.2

zabieru259

y=mxとして交点を考える
もしくは極座標に楕円を置く
数Ｃの赤チャートでこれそのままか、この類題を見た気がします。
探してみてください

お礼

ありがとうございました（'▽'*）ﾆﾊﾟｯ♪

補足

青チャートしか
持っていません
。・ﾟﾟ･(≧д≦)･ﾟﾟ･｡ｴｰﾝ!!

回答No.1

de_tteiu

楕円の極方程式
r=l/(1-ecosθ)
を知っていれば簡単に解けますが、知らなかったらがんばって計算してください

お礼

ありがとうございました（'▽'*）ﾆﾊﾟｯ♪