放物線の性質の証明が分かりません。

質問

放物線の焦点を通る弦を直径とする円は、準線Lに接する事を証明せよ。
という問題なのですが、さっぱり意味がわかりません。
考え方だけでも教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

放物線の焦点をF，Fを通る弦と放物線の交点をそれぞれP，Qとして，
PからLへの垂線の足をP'，QからLへの垂線の足をQ'，
さらに，PQの中点をM（これが「円の中心」），MからLへの垂線の足をM'とする．
このとき，
QM=PM=MM'=(PP'+QQ')/2=PQ/2
が成り立つことを示せば十分．

で，これの証明なんだけども
台形PP'Q'QとMM'に対して，対角線PP'を引くことで
三角形の中点連結定理を使えばおしまい．

放物線の定義を念頭において絵を描けば
中学校の幾何の問題です．
計算不要です．

回答No.1

gohtraw

放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(0, a)、準線の式を y = -a とすると,Pから焦点までの距離と、Pから準線までの距離は等しいので
y+a=√（x^2+(a-y)^2)
x^2=4ay
というのが放物線の式です。
参考：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9%E7%B7%9A

一方、焦点（０，ａ）を通る直線はｙ＝αｘ＋ａ　と表すことができ、これと放物線の交点を求めるために
ｙ＝αｘ＋ａ　をｘ＾２＝４ａｙ　に代入すると
ｘ＾２＝４ａ（αｘ＋ａ）
ｘ＾２－４ａαｘ－４ａ＾２＝０
ｘ＝（４ａα±√（１６ａ＾２α＾２＋１６ａ＾２）／２
これをｙ＝αｘ＋ａに代入すると
ｙ＝（４ａα＾２±α√（１６ａ＾２α＾２＋１６ａ＾２）／２＋ａ
という二点が求められます。これが弦の両端になります。この二点の中点の座標は（２ａα、２ａα＾２＋ａ）で与えられ、これが問題文中の円の中心になります。この点から準線までの距離は２ａα＾２＋２ａです。・・・（１）

一方、弦の中点から両端までの距離の二乗は
（√（１６ａ＾２α＾２＋１６ａ＾２）／２）＾２＋（α√（１６ａ＾２α＾２＋１６ａ＾２）／２）＾２
　　　＝（１６ａ＾２α＾２＋１６ａ＾２＋１６ａ＾２α＾４＋１６ａ＾２α＾２）／４
　　　＝４ａ＾２α＾４＋８ａ＾２α＾２＋４ａ＾２
　　　＝（２ａα＾２＋２ａ）＾２
なので、弦の中点から準線までの距離＝弦の中点から両端までの距離　となり、弦の中点を中心とする円は準線に接することが判ります。
　放物線の頂点が原点である場合しか考えていませんが、この放物線を平行移動した場合焦点と準線も同じように平行移動するので相互の位置関係は変わらず、上記の関係が成り立ちます。