座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点

質問

座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点P,Qをとり、線分PQの中点をMとし、Mの座標を(a, b)とする。
(1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。
(2) PQ=4のとき、b を a の式で表せ。
(3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。

この問題教えてください！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

設問1
点P(p, p^2), Q(q, q^2)とおく。このとき、
PQの中点Mの座標は((p + q)/2, (p^2 + q^2)/2)である。
これが(1, 3)であるから、
p + q = 2 …… (1)
p^2 + q^2 = 6 …… (2)
また、(PQ)^2 = (p - q)^2 + (p^2 - q^2)^2
= (p - q)^2 + (p + q)^2・(p - q)^2
= (p - q)^2・{1 + (p + q)^2} …… (3)
(3)において(p + q)^2は既知であるから、(1)と(2)から何とかして(p - q)^2を作りたい。
(1)^2より、p^2 + 2pq + q^2 = 4を(2)に代入して、
2pq + 6 = 4, pq = -1
(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2 = 6 + 2 = 8
(3)に代入して、(PQ)^2 = 8・(1 + 4) = 40
PQ > 0であるから、PQ = √40 = 2√10

設問2
一休み