放物線の準線と焦点について

質問

放物線の準線と焦点について教えてください。

準線とはこの図でいう青の線ですか？赤の線ですか？

また三平方の定理をどのように適用しているのか図示してください！

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

№１の方の解答にあるように
　放物線は、｢定直線と定点からの距離が常に等しい点の集合｣です……。
　そして，定直線（凖線（図の青の線））の方程式を直線x=-p,定点（焦点（図の点P(p,0)）の座標を(p,0)としたときに，代表的で簡単なあの方程式
y^2=4px
ができるのです。

「定直線と定点からの距離が常に等しい点」をP(x,y)としましょう。
（凖線の方程式もx=-pとアルファベットのピーの文字を使っていますが，こちらは小文字のp,放物線上の点は大文字のPですから，混同しないようにして読んでください。

定直線x=-pと点P(x,y)との距離は，点Pから直線x=-Pへの垂線の長さですから，
（言い換えるとPと同じ高さにある(同じy座標を持つ点(-p,y)との距離です（図の赤線で「この距離だよ」と示しています)
|x-(-p)|=|x+p|　……①
となります。
（２点間の距離の公式を使えば√{(x-(-p))^2+(y-y)^2}=√{(x+p)^2}=|x+p|となりますね）

次に点(p,0)と(x,y)の間の距離です。数学Ⅰで学習した計算法（ここで三平方の定理を使っています）で
√{(x-p)^2+(y-0)^2}=√{(x-p)^2+y^2}　……②

放物線は①と②が等しいのですから
|x+p|=√{(x-p)^2+y^2}
両辺を平方して
(x+p)^2=(√{(x-p)^2+y^2})^2
(x+p)^2={(x-p)^2+y^2}
x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2
4px=y^2
左右を入れ替えて，おなじみの形を得ます
y^2=4px

回答No.1

tootattatato

青の線が準線です。

放物線は、｢定直線と定点からの距離が常に等しい点の集合｣ですから、赤線はそれを示しています。

なお、定直線からの距離は、｢直線と点の距離の公式｣を使えば良いですし、定点からの距離は｢二点間の距離の公式｣を使えば良いです。

いずれも、数学Ⅱで既習のことですので、それがわからない人は二次曲線に手を出すべきではありません。