教室で誕生日がn人が重なる確率は？

質問

生徒の誕生日が重なる確立について算出したいのですが
・教室に40人の生徒
・年間を360日
と想定した場合

誕生日が重ならない確率は
　359/360 * 358/360 * 357/360 * ・・・ * 321/360 = 0.1053
重なる確立は
　1 - 0.1053 = 89%
となると思うのですが

これが3人以上重なる確立、4人以上・・・という形で算出したいので
すがが良く判りません。

40人の誕生日が取りうる全ての組み合わせから求めれそうなのですが
良く判らなくなってきました。

どのように計算すれば良いのでしょうか？

回答No.6

paddler · ベストアンサー

> 実際に知りたいのは、あるサービスに同時に殺到する混雑具合です。

もし、いわゆる「待ち行列理論」的なものをイメージして、「待ち行列の長さが爆発しない範囲」のようなものを求めたい、ということを考えておられるのであれば、「時間軸」の考慮も必要なように思います。一般に「待ち行列」の解析においては、「列の数」や「窓口の数」などの純粋に「量的」なものだけでなく、「平均到着率」や「平均サービス時間」など「時間」のファクターを含むものが大きな影響を与えるからです。

このような系の振る舞いを見るには、モンテカルロ法などを使ったシミュレーションの活用が便利です。

あまりきっちり中身まで見た訳ではないのですが、参考になりそうなサイトを挙げておきます。

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/math/sw_waitque1.html

http://www.ne.jp/asahi/license/ikawa17/info_soft/queue_theory_main.html

http://www.hako.is.uec.ac.jp/yuka/lectures/performance/Lecture1.pdf

http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/model/model.htm#3.3

お礼

ありがとうございます。
ご紹介頂いた、ページを見てみます。

回答No.5

sunasearch

＞実際に知りたいのは、あるサービスに同時に殺到する混雑具合です。

あるサービスに４人集まる確率
＝１人目はいずれかのサービスに行くとすると，同じサービスに，残りの３９人のうち３人が来る確率
＝39C3 × (1/360)^3 × (359/360)^36
を考えれば，目安になると思います．

誕生日という話でしたら，多項分布を適用して計算する方法もあるかとは思います．

確率が低いのでしたら，場合によってはポアソン分布（店に来る客の数を考えるときにはよく使われる）も使えるかもしれません．

回答No.4

age_momo

皆さんの答え、質問者さんの補足を読んで分からなくなりました。
4人以上重なるとは4人が同じ誕生日になる事でしょうか？
それとも2日に2人ずつ重なればいいんでしょうか？

いずれにせよ、数学として厳密解を求めたいと言う事でなく
目安にするということならプログラミングでシミュレートした方が
早いと思いますが。

回答No.3

age_momo

2人以上は簡単ですね。一人も重ならないのは1通りしかありませんからその確率を引けば求まります。
しかし、3人以上となると2人が重なる全ての組み合わせの確率を出す必要があります。つまり、二人組みが1組から20組まであるので
1組・・・25.6%
2組・・・27.9%
3組・・・18.2%
・・・・・・
20組・・・1.4×10^-26%
の総和82.6%を引かなければなりません。
1-0.105-0.826=0.069
3人以上重なる確率は6.9%です。
4人以上は計算する気になりません。0.2%ぐらいです。

回答No.2

notnot

上で求まった89%は、「2人以上重なる確率」ということですよね。

n人の場合に一般化できませんが、3人以上、4人以上だけでよければ、
(3人以上重なる確率)=(2人以上重なる確率)-(ちょうど2人だけが重なる確率)
(4人以上重なる確率)=(2人以上重なる確率)-(ちょうど2人だけが重なる確率)-(ちょうど3人だけが重なる確率)
で求まると思います。

これ以上は、「ちょうど4人が重なる」が、#1の方のお書きのように2パターンあるので難しくなります。

補足

すみません説明不足でした。
解として欲しいのは、notnotさんの通りでn個以上重なる確率です。

質問を判り易くするために誕生日を例としましたが、実際に知りたい
のは、あるサービスに同時に殺到する混雑具合です。

想定し準備しなければならない範囲を判断するために確率を求めよう
としています。
例えば、5個以上重なる確率は少ないので、手を打つ必要は無いという
判断を行うために算出しようとしています。

回答No.1

noname#12673

基本的に、
n人重複＋40-n人が重複しない（n人の誕生日以外で）という事象の和になると思います.
４人以上だったら、ｎを４から４０まで計算して足す.
これを取りうるすべての組み合わせで割ると確率になります.

しかし、「重なる」という状態が複数あるのが問題をややこしくしていると思います.

例えば４人が重なる（＋３６人は重ならない）場合でも、
４人とも同じ日で重なる場合と、２人重なるのが２組ある場合とでは状態が違いますから.
重なる人数が増えてくると、重なる状態も増えます.

ちなみに、４人重なる場合は、
((360*40P4 + 359P36) + (360*40P2 + 359*38P2 + 358P36))/360^40
になると思います.
* Pは順列

内訳は
●分母は４０人すべて誕生日の順列
●分子は、上の２つの状態の和で、

○左は４０人から４人を選んだ順列が３６０日通り
＋３５９日から異なる３６日（＝人）選んだ順列、

○右は４０人から２人を選んだ順列が３６０日通り、
＋３８人から２人を選んだ順列が３５９日通り、
＋３５８日から異なる３６日（＝人）選んだ順列

もっと簡単な方法があるかも知れませんが、状態（背反な事象）が増えると一つの式でズバっと、というのは難しいと思います.

順列：誕生日と人が結びついた組み合わせ
組み合わせ：誕生日だけの組み合わせ（誰がどの日かは考えない）